本书以“让大学没有难学的高等数学”为核心理念，系统梳理高等数学的核心知识体系，内容涵盖极限与连续、微分学、导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、微分方程七大模块．全书结合几何、物理、经济等领域的典型应用场景，致力于构建从理论到实践的完整知识闭环。

本书创新性地采用“通俗化阐释+可视化呈现”相结合的方法：通过图像拟合法解析泰勒公式的核心原理，以图形直观展示极限的趋向过程，旨在显著降低抽象知识的理解难度．同时，本书精选高校期末考试试题、专升本数学真题及考研数学真题构建例题库，有效强化读者的应试能力。

作为一本融合学术严谨性与新媒体传播力于一体的创新型教辅，本书特别适合经管类、理工科大学生用于巩固课程知识，也可作为研究生入学考试的复习资料。同时，本书也能为数学爱好者提供一条高效掌握高等数学精髓的学习路径，帮助读者实现高效学习与深度理解的双重突破。

目 录
第1章 极限与连续
1．1 极限计算方法大总结1
1．1．1 直接代入法与常用结论2
1．1．2 因式分解法3
1．1．3 分子（分母）有理化法4
1．1．4 “抓大头”法6
1．1．5 等价无穷小代换法8
1．1．6 对数恒等式法（取对数求极限）10
1．1．7 极限的四则运算法则11
1．1．8 数列的极限13
1．1．9 夹逼准则15
1．1．10 利用极限值与无穷小的关系求极限18
1．1．11 利用中值定理求极限20
1．1．12 单调有界准则求极限20
1．1．13 洛必达法则求极限20
1．1．14 泰勒公式展开法求极限20
1．1．15 利用定积分定义求极限20
1．2 函数的连续性20
1．3 函数的间断点22
1．4 无穷小量阶的比较26
1．5 最值定理与有界性定理、介值定理与零点定理28
第2章 微分学
2．1 导数的定义与几何意义31
2．1．1 函数在一点处的导数31
2．1．2 导数的几何意义32
2．2 导数的可导性（左导数与右导数）33
2．3 导数的基本公式及其运算法则35
2．4 反函数的导数37
2．5 复合函数的导数39
2．6 高阶导数41
2．7 隐函数的导数43
2．8 对数求导法45
2．9 参数方程的导数46
2．10 微分的概念及其计算48
2．11 利用微分求近似值51
第3章 导数的应用
3．1 费马引理 53
3．2 罗尔中值定理54
3．2．1 定理内容54
3．2．2 函数构造方法总结55
3．3 拉格朗日中值定理 57
3．4 柯西中值定理59
3．5 洛必达法则61
3．6 泰勒公式64
3．6．1 泰勒公式的通俗理解64
3．6．2 利用泰勒公式求极限67
3．7 函数的单调区间与极值68
3．7．1 函数的单调区间68
3．7．2 函数的极值70
3．8 函数的最大值与最小值73
3．9 函数的凹凸区间与拐点74
3．10 曲线的渐近线76
3．11 函数图像的描绘78
3．12 曲率及其计算80
3．13 导数在经济学中的应用82
3．13．1 五大经济函数82
3．13．2 边际分析85
3．13．3 弹性分析86
第4章 不定积分
4．1 原函数与不定积分的概念88
4．2 不定积分的性质与基本公式90
4．3 不定积分计算之凑微分法94
4．4 不定积分计算之第二类换元积分法99
4．5 不定积分计算之分部积分法101
4．6 必备知识之多项式的除法104
4．7 有理分式的不定积分计算106
4．7．1 分母不可分解因式106
4．7．2 分母可分解因式109
4．8 三角有理函数的不定积分计算111
4．9 无理函数的不定积分计算114
4．10 “积不出”的不定积分116
第5章 定积分
5．1 定积分的定义与几何意义118
5．2 定积分的基本性质及其运用121
5．3 利用定积分定义求极限的构造策略123
5．4 积分上限函数及其导数126
5．5 牛顿-莱布尼茨公式129
5．6 定积分计算之分段函数与去绝对值131
5．7 定积分计算之换元积分法133
5．8 定积分计算之分部积分法136
5．9 定积分计算之对称性139
5．10 定积分计算之周期函数141
5．11 定积分计算之含有定积分的方程143
5．12 定积分计算之区间再现公式145
5．13 定积分计算之华里士公式（点火公式）149
5．14 反常积分（广义积分）的解题方法总结152
5．14．1 无穷区间上的反常积分152
5．14．2 无界函数的反常积分156
5．14．3 反常积分的敛散性判定159
第6章 定积分的应用
6．1 利用定积分计算平面图形面积（直角坐标系）164
6．2 利用定积分计算平面图形面积（参数方程）167
6．3 必备知识之极坐标系169
6．4 利用定积分计算平面图形面积（极坐标系）171
6．5 利用定积分计算旋转体体积（曲边梯形）173
6．6 利用定积分计算旋转体体积（曲边带形）175
6．7 平面曲线的弧长177
6．8 定积分在物理学中的应用179
6．9 定积分在经济学中的应用181
第7章 微分方程
7．1 微分方程的基本概念183
7．2 可分离变量的微分方程186
7．3 齐次型微分方程188
7．4 一阶线性微分方程190
7．5 伯努利方程192
7．6 可降阶的高阶微分方程194
7．7 二阶线性微分方程解的结构197
7．8 二阶常系数齐次线性微分方程199
7．9 二阶常系数非齐次线性微分方程201
7．9．1 特定形式一：（ 代表关于的次多项式）201
7．9．2 特定形式二：（， 分别代表关于的次和次多项式）203
7．10 n阶常系数齐次线性微分方程204
7．11 微分方程的应用205
7．11．1 微分方程在几何学、经济学中的应用205
7．11．2 微分方程在物理学中的应用207
7．12 差分方程209
7．12．1 差分与差分方程的基本概念209
7．12．2 一阶常系数线性差分方程211
7．12．3 二阶常系数线性差分方程214
解析册
第1章 极限与连续
1．1 极限计算方法大总结215
1．1．1 直接代入法与常用结论215
1．1．2 因式分解法216
1．1．3 分子（分母）有理化法217
1．1．4 “抓大头”法218
1．1．5 等价无穷小代换法219
1．1．6 对数恒等式法（取对数求极限）220
1．1．7 极限的四则运算法则221
1．1．8 数列的极限221
1．1．9 夹逼准则222
1．1．10 利用极限值与无穷小的关系求极限224
1．1．11 利用中值定理求极限225
1．1．12 单调有界准则求极限225
1．1．13 洛必达法则求极限225
1．1．14 泰勒公式展开法求极限225
1．1．15 利用定积分定义求极限226
1．2 函数的连续性226
1．3 函数的间断点227
1．4 无穷小量阶的比较229
1．5 最值定理与有界性定理、介值定理与零点定理230
第2章 微分学
2．1 导数的定义与几何意义232
2．1．1 函数在一点处的导数232
2．1．2 导数的几何意义232
2．2 导数的可导性（左导数与右导数）233
2．3 导数的基本公式及其运算法则234
2．4 反函数的导数235
2．5 复合函数的导数236
2．6 高阶导数237
2．7 隐函数的导数238
2．8 对数求导法239
2．9 参数方程的导数240
2．10 微分的概念及其计算241
2．11 利用微分求近似值242
第3章 导数的应用
3．1 费马引理 244
3．2 罗尔中值定理244
3．2．1 定理内容244
3．2．2 函数构造方法总结245
3．3 拉格朗日中值定理 246
3．4 柯西中值定理248
3．5 洛必达法则249
3．6 泰勒公式250
3．6．1 泰勒公式的通俗理解250
3．6．2 利用泰勒公式求极限251
3．7 函数的单调区间与极值251
3．7．1 函数的单调区间251
3．7．2 函数的极值252
3．8 函数的最大值与最小值253
3．9 函数的凹凸区间与拐点254
3．10 曲线的渐近线255
3．11 函数图像的描绘256
3．12 曲率及其计算259
3．13 导数在经济学中的应用260
3．13．1 五大经济函数260
3．13．2 边际分析261
3．13．3 弹性分析261
第4章 不定积分
4．1 原函数与不定积分的概念263
4．2 不定积分的性质与基本公式263
4．3 不定积分计算之凑微分法265
4．4 不定积分计算之第二类换元积分法268
4．5 不定积分计算之分部积分法269
4．6 必备知识之多项式的除法270
4．7 有理分式的不定积分计算271
4．7．1 分母不可分解因式271
4．7．2 分母可分解因式272
4．8 三角有理函数的不定积分计算274
4．9 无理函数的不定积分计算275
4．10 “积不出”的不定积分277
第5章 定积分
5．1 定积分的定义与几何意义278
5．2 定积分的基本性质及其运用278
5．3 利用定积分定义求极限的构造策略279
5．4 积分上限函数及其导数281
5．5 牛顿-莱布尼茨公式282
5．6 定积分计算之分段函数与去绝对值282
5．7 定积分计算之换元积分法283
5．8 定积分计算之分部积分法285
5．9 定积分计算之对称性286
5．10 定积分计算之周期函数287
5．11 定积分计算之含有定积分的方程288
5．12 定积分计算之区间再现公式289
5．13 定积分计算之华里士公式（点火公式）291
5．14 反常积分（广义积分）的解题方法总结291
5．14．1 无穷区间上的反常积分291
5．14．2 无界函数的反常积分292
5．14．3 反常积分的敛散性判定293
第6章 定积分的应用
6．1 利用定积分计算平面图形面积（直角坐标系）297
6．2 利用定积分计算平面图形面积（参数方程）298
6．3 必备知识之极坐标系299
6．4 利用定积分计算平面图形面积（极坐标系）300
6．5 利用定积分计算旋转体体积（曲边梯形）302
6．6 利用定积分计算旋转体体积（曲边带形）303
6．7 平面曲线的弧长304
6．8 定积分在物理学中的应用305
6．9 定积分在经济学中的应用307
第7章 微分方程
7．1 微分方程的基本概念309
7．2 可分离变量的微分方程310
7．3 齐次型微分方程311
7．4 一阶线性微分方程312
7．5 伯努利方程313
7．6 可降阶的高阶微分方程314
7．7 二阶线性微分方程解的结构315
7．8 二阶常系数齐次线性微分方程316
7．9 二阶常系数非齐次线性微分方程317
7．9．1 特定形式一：（
代表关于的次多项式）317
7．9．2 特定形式二：（，分别代表关于的次和次多项式）318
7．10 阶常系数齐次线性微分方程319
7．11 微分方程的应用319
7．11．1 微分方程在几何学、经济学中的应用319
7．11．2 微分方程在物理学中的应用320
7．12 差分方程323
7．12．1 差分与差分方程的基本概念323
7．12．2 一阶常系数线性差分方程323
7．12．3 二阶常系数线性差分方程325

前 言

我依稀记得高二那场数学考试——作为全年级第一个完整解出最后一道题的人，那种心跳加速的激动让我恍然大悟：原来那些看似冰冷的符号背后，蕴藏着如此精巧的逻辑．从那时起，数学于我而言不再是课本上枯燥的公式，更像一束微光，悄然照亮了我对“化繁为简、将抽象变具体”的向往．

步入大学后，我目睹了太多同学面对高等数学时的困惑：有人在极限的“”定义中反复打转，有人因泰勒公式的推导而备感受挫，也有人手握积分题无从落笔，只能在草稿纸上默默写下“高数好难”．每当此时，我总会想起自己曾经对题发呆的模样，也越发渴望做些什么——能否让高等数学不再成为困住学子的围墙？

带着这份心愿，我开始了本书的打磨．本书未堆砌繁复的理论，而是将我曾走过的弯路、踩过的“坑”融入字里行间．全书共七章，节奏放得很“慢”．例如，讲解极限时，我将自己总结的十多种计算方法逐一拆解，从最基础的“直接代入法”到易混淆的“等价无穷小代换”，每种方法都配有典型例题．这些例题中，既有大学期末考试中的常见陷阱题，也有专升本真题里绕弯的题目，还有考研数学中需巧思的压轴题．我甚至特意加入了QQ群中同学们反复提问的“高频错题”，比如总有人在“洛必达法则”中忽略使用前提条件，或在“反常积分的敛散性”中误用公式．这些细节，我都一一厘清，正如当年有人耐心为我讲解那般．

讲到导数与积分时，我尤其注重搭建“从理论到实践”的桥梁．我理解许多人在学习高等数学时的疑问：“这些知识究竟有什么用？”因此，我将导数置于几何中，解释它如何画出曲线切线；引入物理学中，计算自由落体的瞬时速度；甚至放到经济学中，分析边际成本与收益．正如当年我的微积分老师所教导的，我希望让抽象的公式落地，成为可感知的“有用知识”．

在本书的撰写过程中，最令我难忘的是对泰勒公式的讲解．我没有直接呈现推导过程，而是先阐释“拟合”的思想：正如用一条曲线去贴近另一条，我们所寻找的是最“像”的那一个——这个我反复琢磨才想通的道理，如今写入书中，只愿你能因此少走一些我曾走过的弯路．

本书的诞生，更像是一场“双向奔赴”．2020年冬天，我怀揣“让大学没有难学的高等数学”的初心，开通了“玩转高等数学”微信公众号．起步很艰难：夜晚在宿舍对着电脑撰写解题思路，反复录制讲解视频，有时因口误或字迹不工整，一条视频需重录多次，直至凌晨才能发布．然而，当我收到第一条留言“马老师，你的方法我听懂了”时，我坐在书桌前，眼眶不由湿润——原来我的点滴坚持，真能助人前行．

后来，我创建了三个高等数学答疑QQ群，初衷是帮助更多大学生．未曾想，群内逐渐形成一种奇特的“默契”：有人提问“这个积分如何凑微分”，立刻有人附上自己的草稿照片；有人卡在“间断点判断”上，便会有人主动分享整理好的笔记．曾有同学感慨，以往觉得学高等数学是“一个人的战斗”，入群后才发觉，大家可以并肩前行．截至2025年9月，我的QQ群已累计服务全国数百所高校超过9.7万名大学生．而在一次次答疑中，我也不断弥补自身知识的不足．有人问及“反常积分敛散性”，我特地查阅多本参考书；有人纠结“微分方程在经济学中的应用”，我检索大量案例才敢作答．“教学相长”绝非虚言，正是这些素未谋面的同学，陪伴我将高等数学的根基扎得更深．

此后，我将手写的高等数学笔记分享至小红书，将录制的微课上传至哔哩哔哩（B站）．起初仅视作多一个分享渠道，却意外收获无数温暖回响：有同学称“救急了，看完你的视频，期末竟没挂科”；有专升本同学留言“跟着你的方法复习，高等数学考了132分”；也有人写道“原来高等数学可以不枯燥，谢谢你让我敢于再次尝试”．截至2025年9月，我在各平台粉丝数已逾48万，笔记浏览量与视频播放量均突破1800万——这些数字背后，是无数个挑灯夜读的晚上，是一次次欲放弃又坚持的瞬间，更是万千学子对“学会高等数学”的深切渴望．

有人问我，为何愿用大量时间打磨这些“不赚钱”的事？我总会记起初次在QQ群中助人解题后，对方发来的那句“谢谢马老师，我终于懂了”．那份喜悦，胜过任何荣誉．后来，我的故事被《中国教育报》《现代金报》《宁波晚报》等媒体报道，我却愈加清醒：我并非什么“高等数学名师”，只是一个乐于分享学习经验的普通人．我知道，仍有无数人在高等数学的道路上艰难前行，仍有人深信“我肯定学不会高等数学”．因此，我愿将本书递给读者．本书中没有高深的理论，只有我走过的路、总结的方法，以及一份殷切期待：愿你能在此找到解题之钥，更能收获“我也能学会高等数学”的信心．

在撰写本书时，我常忆起那些深夜录视频的日子：电脑屏幕的光映亮键盘，窗外校园寂静，唯余鼠标点击与讲解之声．那时从未想过，这条路能行至远方．从一个人的热爱，到一群人的互助，再到影响数十万学子，我逐渐明白：教育从来不是一个人的光芒万丈，而是众人点亮众人的旅程．本书中每一则公式、每一道例题，都承载着我对高等数学的热忱，更蕴含我对每一位“正努力者”的共情．我知你会遭遇难以理解的知识点，会有想放弃的片刻，但请相信，那些反复琢磨的题目、熬夜领悟的知识，终将化为你的利刃，助你跨越眼前关隘．

世界变幻不定，我们所拥有的或会失去，未知的或会令人不安，但我始终坚信知识的力量永不褪色．正如当年高等数学照亮我一般，我愿本书化作一束微光，助你在高等数学之路上行得更稳、走得更远．

最后，谨以此言相赠：别怕，你并非孤身作战．我曾如你一般对题发呆；而今，我将所有经验汇集成书，伴你同行，共将高等数学之“难”化为“我做到了”的喜悦．

马乐

2025年9月于北京朝阳