《守恒律方程的数值方法——从分析到算法》是一部专注于守恒律数值解法的**著作，系统探讨了数值解法在物理学、工程学和流体力学等领域的核心应用，如欧拉方程和麦克斯韦方程。《守恒律方程的数值方法——从分析到算法》详细阐述了有限差分法、有限体积法和间断伽辽金法等关键数值方法，不仅深入剖析其数学理论基础，还结合丰富的应用案例和算法实现细节，指导读者将理论转化为高效的计算程序。作者特别强调了数值方法的稳定性、精度和收敛性分析，为求解复杂问题提供了系统的理论框架和实用工具。

目录
中文版序言
Preface to the Chinese Edition
译者序言
原书序言
MATLAB脚本
第1章 介绍
1.1 面临的挑战 3
1.2 守恒律的历史 8
1.3 连续介质力学中的伟大方程 10
1.3.1 线性方程 10
1.3.2 非线性方程 13
1.4 测试案例及软件 14
1.4.1 一维问题 14
1.4.2 二维问题 19
1.5 待解法和发现的问题 21
1.6 读者及阅读建议 23
参考文献 23
第2章 标量守恒律方程
2.1 弱解 29
2.2 熵条件与解 32
2.3 熵函数 38
参考文献 45
第3章 守恒律系统
3.1 线性系统 47
3.2 黎曼问题 52
3.3 熵条件与熵函数 58
参考文献 63
第4章 从连续到离散
4.1 守恒与守恒形式 66
4.2 单调性和熵条件 70
参考文献 83
第5章 有限差分法 84
5.1 线性问题 85
5.1.1 一致性、稳定性和收敛性 88
5.1.2 非光滑问题 95
5.2 非线性问题 97
5.3 有限差分法的运用 99
5.3.1 边界条件 100
5.3.2 线性波动方程 101
5.3.3 伯格斯方程 103
5.3.4 麦克斯韦方程组 107
5.3.5 欧拉方程 111
参考文献 118
第6章 有限体积法 120
6.1 戈杜诺夫法 120
6.2 近似黎曼求解器 125
6.2.1 Roe通量 125
6.2.2 Engquist-Osher通量 131
6.2.3 Harten-Lax-van Leer (HLL)通量 132
6.3 中心格式 134
6.4 有限体积方法的运用 136
6.4.1 欧拉方程 136
参考文献 143
第7章 多维问题 145
7.1 二维单调格式的运用 147
7.1.1 伯格斯方程 147
7.1.2 非凸问题 150
7.1.3 欧拉方程 153
参考文献 162
第8章 高阶精度及其挑战 164
8.1 优点 164
8.1.1 相位误差分析 169
8.2 缺点 173
8.2.1 总变差稳定性 173
8.2.2 熵稳定性 185
8.3 严重缺点 200
8.3.1 吉布斯现象 202
8.3.2 是否重要 207
8.3.3 如果重要，可以做什么 211
参考文献 219
第9章 强稳定性保持的时间积分 222
9.1 龙格-库塔法 225
9.1.1 显式强稳定性保持（SSP）龙格-库塔格式 227
9.1.2 隐式SSP龙格-库塔格式 230
9.1.3 阶次障碍 232
9.2 多步法 237
参考文献 238
第10章 基于限制器的高阶精度方法 240
10.1 通量限制格式 241
10.1.1 通量校正传输（FCT）格式 241
10.1.2 TVD-稳定的高阶格式 243
10.1.3 正格式 250
10.1.4 通量限制格式的运用 254
10.2 斜率限制格式 266
10.2.1 守恒律方程的单调上游中心格式（MUSCL） 266
10.2.2 基于拉格朗日重构的多项式方法 271
10.2.3 斜率限制格式的运用 275
10.3 中心格式 283
10.3.1 中心格式的运用 289
10.4 拓展到多维问题 298
10.4.1 伯格斯方程 298
10.4.2 非凸标量方程 306
10.4.3 欧拉方程 308
参考文献 315
第11章 本质无振荡格式 319
11.1 插值与重构 319
11.2 ENO方法 326
11.2.1 守恒律方程的 ENO 法 329
11.2.2 一些理论 331
11.2.3 ENO方法的运用 335
11.3 WENO方法 353
11.3.1 WENO的变种 359
11.3.2 良平衡格式 364
11.3.3 更多理论 368
11.3.4 WENO方法的运用 370
11.4 处理非均匀网格 378
11.5 从一维拓展 380
11.5.1 非笛卡儿边界上的插叙 382
11.5.2 标量方程 383
11.6 欧拉方程 386
参考文献 392
第12章 间断伽辽金方法 396
12.1 基本概念 402
12.1.1 局部近似 405
12.1.2 关键性质 417
12.1.3 误差估计 423
12.1.4 相位误差分析 427
12.2 非光滑问题 430
12.2.1 隐藏精度的研究 432
12.2.2 滤波 440
12.2.3 非线性耗散 449
12.2.4 斜率限制器 464
12.2.5 基于WENO的限制器 473
12.2.6 极值保持限制器 479
12.3 相关公式 483
12.3.1 谱惩罚方法 485
12.3.2 谱有限体积格式 487
12.3.3 谱差分格式 488
12.3.4 通量重构格式 491
12.4 扩展到多维问题 495
12.5 间断伽辽金方法的运用 499
12.5.1 线性波动方程 500
12.5.2 伯格斯方程 506
12.5.3 麦克斯韦方程 510
12.5.4 欧拉方程 513
参考文献 523
第13章 谱方法 533
13.1 傅里叶模式和节点 534
13.1.1 连续傅里叶展开 534
13.1.2 离散傅里叶展开 540
13.2 傅里叶谱方法 545
13.2.1 傅里叶-伽辽金方法 545
13.2.2 傅里叶配置法 548
13.3 非线性问题 553
13.3.1 斜对称形式 553
13.3.2 黏性消去法 556
13.4 后处理技术 562
13.4.1 滤波 562
13.4.2 傅里叶-帕德重构 568
13.4.3 克服吉布斯现象 574
13.5 谱方法的运用 585
13.5.1 伯格斯方程 585
13.5.2 麦克斯韦方程 589
13.5.3 欧拉方程 592
参考文献 596
索引 601
11.2.3 ENO方法的运用 335
11.3 WENO方法 353
11.3.1 WENO的变种 359
11.3.2 良平衡格式 364
11.3.3 更多理论 368
11.3.4 WENO方法的运用 370
11.4 处理非均匀网格 378
11.5 从一维拓展 380
11.5.1 非笛卡儿边界上的插叙 382
11.5.2 标量方程 383
11.6 欧拉方程 386
参考文献 392
第12章 间断伽辽金方法 396
12.1 基本概念 402
12.1.1 局部近似 405
12.1.2 关键性质 417
12.1.3 误差估计 423
12.1.4 相位误差分析 427
12.2 非光滑问题 430
12.2.1 隐藏精度的研究 432
12.2.2 滤波 440
12.2.3 非线性耗散 449
12.2.4 斜率限制器 464
12.2.5 基于WENO的限制器 473
12.2.6 极值保持限制器 479
12.3 相关公式 483
12.3.1 谱惩罚方法 485
12.3.2 谱有限体积格式 487
12.3.3 谱差分格式 488
12.3.4 通量重构格式 491
12.4 扩展到多维问题 495
12.5 间断伽辽金方法的运用 499
12.5.1 线性波动方程 500
12.5.2 伯格斯方程 506
12.5.3 麦克斯韦方程 510
12.5.4 欧拉方程 513
参考文献 523
第13章 谱方法 533
13.1 傅里叶模式和节点 534
13.1.1 连续傅里叶展开 534
13.1.2 离散傅里叶展开 540
13.2 傅里叶谱方法 545
13.2.1 傅里叶-伽辽金方法 545
13.2.2 傅里叶配置法 548
13.3 非线性问题 553
13.3.1 斜对称形式 553
13.3.2 黏性消去法 556
13.4 后处理技术 562
13.4.1 滤波 562
13.4.2 傅里叶-帕德重构 568
13.4.3 克服吉布斯现象 574
13.5 谱方法的运用 585
13.5.1 伯格斯方程 585
13.5.2 麦克斯韦方程 589
13.5.3 欧拉方程 592
参考文献 596
索引 601
11.2.3 ENO方法的运用 335
11.3 WENO方法 353
11.3.1 WENO的变种 359
11.3.2 良平衡格式 364
11.3.3 更多理论 368
11.3.4 WENO方法的运用 370
11.4 处理非均匀网格 378
11.5 从一维拓展 380
11.5.1 非笛卡儿边界上的插叙 382
11.5.2 标量方程 383
11.6 欧拉方程 386
参考文献 392
第12章 间断伽辽金方法 396
12.1 基本概念 402
12.1.1 局部近似 405
12.1.2 关键性质 417
12.1.3 误差估计 423
12.1.4 相位误差分析 427
12.2 非光滑问题 430
12.2.1 隐藏精度的研究 432
12.2.2 滤波 440
12.2.3 非线性耗散 449
12.2.4 斜率限制器 464
12.2.5 基于WENO的限制器 473
12.2.6 极值保持限制器 479
12.3 相关公式 483
12.3.1 谱惩罚方法 485
12.3.2 谱有限体积格式 487
12.3.3 谱差分格式 488
12.3.4 通量重构格式 491
12.4 扩展到多维问题 495
12.5 间断伽辽金方法的运用 499
12.5.1 线性波动方程 500
12.5.2 伯格斯方程 506
12.5.3 麦克斯韦方程 510
5.1 extend.m 100
5.2 LinwaveMDriver1D.m 101
5.3 LinwaveM1D.m 101
5.4 LinwaveMrhs1D.m 102
5.5 LinwaveLF.m 102
5.6 LinwaveLW.m 103
5.7 BurgersMDriver1D.m 104
5.8 BurgersM1D.m 105
5.9 BurgersMrhs1D.m 105
5.10

第1章介绍
　　物理系统中的平衡是守恒律方程能够建立起来的核心假设。这一假设指出，在一个封闭的容积内，一个实体（例如质量、能量或电荷）的产生，与该实体通过容积边界的通量相平衡。换句话说，只有当流入系统的量比流出系统的量多的时候，该容积内的物质体才会增加。
　　让我们考虑一个简单的物理系统，其中单位长度的质量，即通常所指的物质（如气体或液体）的密度，沿分布，则该系统的总质量可由如下公式表示
　　如果用表示气体在位置时刻的局部流速，则质量守恒可表示为
　　这反映了一种平衡状态，即只有在位置的内向通量高于在位置的外向通量时，质量才能增加。定义一个时域，并在这个范围上进行积分，可以得到
　　这个结果直接源自基本的物理原理，即质量不会凭空产生也不会凭空消失。这个守恒原理是用积分形式表示的，可以说是守恒原理的*基本形式。我们将在之后对此进行详细讨论。
　　更进一步，假设密度和速度在处都是可微函数。由微积分基本定理可以立即得出
　　类似地，将其与（1.1）结合，就可以得到
　　由于这需要对任何控制体积都适用，它必须逐点意义上成立。于是，我们用微分形式来表示守恒律方程:
　　再进一步，引入一般守恒变量和相应的通量，就能得到守恒律方程的积分形式
　　并且，如果和都可微，那就有了守恒律方程的微分形式
　　这一守恒律方程的原型遵循基本的守恒原理。多维守恒律系统的公式化亦归功于类似思想的应用。在这种情况下，施加合适的初始条件，守恒律可以表述为
　　这里为因变量，为的边界上的向外单位向量，为穿过边界的通量。假设守恒律方程的解和通量可微，那么可以把高斯定理（Gauss's theorem）应用于某一控制体积，从而得到
　　由于这适用于任意控制体积，我们就能用微分形式描述一般情况下的守恒律方程，即
　　它表示维空间下由个守恒律方程组成的系统。
　　虽然这看起来可能很简单，但守恒原理——假设质量、线动量、角动量、机械能、电荷等都守恒——是一个极其强大的概念，可用于模拟和理解我们周围的物理世界。
　　尽管守恒原理自然产生了许多物理模型，但使用计算或数学手段求解得到的模型仍然是一个重大挑战。该研究领域十分活跃，且有很多问题的无定论。在数学方面，一旦空间维度的*小值和方程的数量超过1，许多有关解的存在性和唯一性的基本问题就会没有着落。换句话说，多维标量问题和一维非线性系统是很好理解的，但对于一维空间以上的系统，许多基本属性仍然难以被解释。不幸的是，后者与科学和工程领域的应用*为相关。
　　如果缺乏对于基本守恒律的严谨数学表述，那么开发数值求解技术时，所能达到的严谨程度亦是有限的。尽管如此，过去四十年中，针对复杂守恒律系统求解的计算技术的发展和分析已取得重大进步。毫无疑问，这些模型是成功的。本书的中心主旨就是向读者概述其中的部分发展，并加上一些对算法分析和算法实现的见解。
　　1.1面临的挑战
　　守恒是用于构建物理世界模型的基本原则，量子力学、连续介质力学和引力物理学都有它的身影。其中一些典型例子包括气体动力学的欧拉方程组、弹性力学的纳维方程组、电磁学的麦克斯韦方程组以及引力学的爱因斯坦方程组。
　　因此，守恒律的数学分析无疑是一个有着深厚底蕴的研究领域，其贡献可以追溯到莱布尼茨（Leibniz）。像冯？诺伊曼（von Neumann）、拉克斯（Lax）和利翁斯（Lions）这样的科学先驱，也都曾为解决此类问题而建立过高效且精准的计算方法。遗憾的是，尽管问题看似简单，但仔细审视时会发现，在试图了解基本守恒律及其解的性质时，依然存在一些严峻的挑战。
　　为领会摆在前面的问题，我们可以从所有守恒律方程中*简单一个开始入手，
　　其中是一个有限常数。这个方程是标量单向波动方程，可以通过通量得到。结合初始条件，很快就可以验证该方程的精确解为
　　换句话说，该线性守恒律的唯一行为是以恒定速率传送初始条件。当时，方程的解向右传播；当时，方程的解向左传播。
　　通过定义，可以注意到方程的解沿方向是恒定的，即
　　我们将这些*线称为在平面的特征线（characteristics）。可以观察到，在这种特殊的情况下，所有特征线都具有相同的斜率，因此它们相互平行。现在考虑沿如下特征线的解：
　　由于是守恒律方程的解，那就剩下了*后一步。换言之，沿着该特征线的解是一个常数。考虑如下方程，可做出一个小小的归纳：
　　其中是一个常数。在这种情况下，易得解。根据的符号，低阶项充当汇（sink）或源（source）。
　　现在，考虑一个更一般的问题
　　若是可微的，则有
　　随之有如下形式的特征线方程：
　　沿着特征线的解满足
　　虽然特征线上的解不再保持恒定，但解的整体变化趋势还是一样的。
　　只要不改变符号，我们得到的就是一个清楚明白的解。但如果的符号发生改变，传播的方向就会发生反转，而解的变化趋势也不再显而易见。让我们举一个例子来观察这样的改变会造成怎样的后果。
　　例1.1考虑如下问题
　　其中初始条件为，周期性边界条件为。
　　假设
　　它在的定义域中会改变符号。则该问题的精确解为[1]
　　我们在图1.1中绘制了不同时长下的解，可以观察到在附近，有一个非常陡峭且高度局部化的解。尽管和初始条件都是解析的，但仍会发生这种情况，即的符号变化导致解变得相当复杂，即便该解仍然保持光滑，并随时间推移渐近地趋于。
　　为理解这一现象，考虑由下列初值问题给出的特征线：
　　在内有两个临界点，分别位于和。撇开这两处临界点，我们将特征线绘制在图1.2中。可以观察到，高度局部化的解的形成是因为临界点是一个稳定的固定点，在该点处集中了大部分的解点，从而产生变化非常陡峭且局部化的解。需要注意的是，尽管这些特征线彼此非常接近，但它们永不相交。
　　如果考虑如下守恒律形式的问题，即
　　对积分的结果将保持守恒，并且在处会形成一个奇点。而对于（1.3），则有
　　回想一下，当取负值时，该项具有耗散效应。事实上，我们观察到，恰好在处出现*大负值，导致原方程解的渐近衰减。
　　让我们进一步讨论这个问题，考虑一个简单的非线性守恒律方程，即伯格斯方程（Burgers’equation）: