《生物数学》介绍了生物数学常用的数学模型方法，涵盖**理论与应用两大模块。**理论部分介绍了生物数学基础理论如定性、稳定性理论，分支理论，*优控制理论及统计分析方法；应用部分着重介绍了**生物数学问题及学科前沿和近年来的热点问题的建模思路、研究方法及分析技巧。《生物数学》旨在引导读者在短时间内尽快进入生物数学领域，并为生物数学初步研究提供有价值的参考。

目录
前言
第1章 动力系统的定性、稳定性和分支相关理论 1
1.1 稳定性概念 1
1.2 李雅普诺夫判别法 3
1.3 平面自治系统的基本概念 6
1.3.1 相平面、相轨线与相图 7
1.3.2 常点、奇点与闭轨 8
1.4 平面定性理论简介 9
1.4.1 线性系统初等奇点附近的轨线分布 9
1.4.2 平面非线性自治系统奇点附近的轨线分布 19
1.4.3 极限环的概念 20
1.4.4 极限环的存在性和不存在性 24
1.5 分支理论基础 26
1.5.1 时滞微分方程分支理论基础 26
1.5.2 离散时间系统单参数分支 30
1.5.3 时滞微分方程对称分支理论简介 32
1.6 耦合生物振子研究的群论方法简介 34
1.7 时滞动力系统 Bogdanov？Takens 奇异的显示计算公式 36
1.8 构造离散系统的数值方法 45
1.8.1 解常微分方程的欧拉法 45
1.8.2 解时滞微分方程的数值法 45
1.9 离散系统Hopf分支存在的判别方法——扩展的Jury判据 48
1.9.1 Jury判据 48
1.9.2 扩展的Jury判据及应用举例 49
1.10 1∶1共振Hopf分支规范型 53
1.10.1 非半单1∶1共振Hopf分支规范型中约化的二次项型 53
1.10.2 非半单1∶1共振Hopf分支规范型中约化的三次项型 56
1.10.3 1∶1共振的规范型 63
1.11 生物数学建模的基本思想 66
第2章 单种群模型 70
2.1 指数增长模型 70
2.2 Logistic连续模型 71
2.3 Logistic时滞模型 73
2.4 离散单种群模型 74
2.4.1 离散马尔萨斯模型 74
2.4.2 离散Logistic模型 75
2.4.3 离散时滞红细胞模型 77
第3章 种群间相互作用的模型 79
3.1 Volterra模型的建立 79
3.2 两种群相互作用的模型 82
3.3 两种群相互作用的模型平衡点的稳定性 84
3.3.1 局部渐近稳定性 85
3.3.2 全局(大范围)稳定性 85
3.4 Holling功能性反应系统及其定性分析 88
3.5 n种群相互作用的模型 92
3.5.1 三种群相互作用的模型 92
3.5.2 n种群相互作用的模型 93
3.5.3 n斑块集合种群模型 94
3.6 离散两种群相互作用模型 94
第4章 具有时滞的生物模型 97
4.1 时滞耦合van der Pol振子模型 97
4.1.1 Hopf？zero分支的存在性 98
4.1.2 Hopf？pitchfork分支的规范型 99
4.2 耦合的俄勒冈振子模型 110
4.2.1 局部Hopf分支性质 111
4.2.2 多重周期解的存在性 122
4.2.3 Hopf分支方向和稳定性 123
第5章 传染病模型 131
5.1 传染病流行和模型概况 131
5.2 SI传染病模型 132
5.3 SIS传染病模型 133
5.4 SIR传染病模型 134
5.5 离散SIS传染病模型 137
5.6 离散SIR传染病模型 137
5.6.1 离散SIR传染病基本模型 137
5.6.2 离散SIR传染病模型分析 138
5.7 一类受媒体滞后报道影响的SIM传染病模型的动力学分析 139
5.7.1 模型建立 139
5.7.2 平衡点的稳定性分析 140
第6章 生物系统*优控制 148
6.1 动力系统*优控制问题解法 148
6.2 *简泛函取极值的必要条件——欧拉方程 151
6.3 条件泛函极值的必要条件 153
6.4 边界条件待定的变分问题 155
6.5 *优控制问题解法 156
第7章 离散时滞耦合神经元模型 159
7.1 离散双向耦合三振子模型 159
7.1.1 耦合映射的 D？？等变性质及线性稳定性 160
7.1.2 多重周期解分支 163
7.1.3 Chaos现象 164
7.2 Z？？对称离散神经元振子模型 166
7.2.1 Z？？等变离散神经网络的线性稳定性 167
7.2.2 多重对称周期解的存在性 170
7.2.3 Hopf分支方向和分支周期解的稳定性 171
7.3 一般形式的三细胞时滞离散神经网络模型 175
7.3.1 三个离散神经元的五种连接方式 175
7.3.2 多重周期解的存在性 181
第8章 生物统计数学模型 187
8.1 回归预测数学模型 187
8.1.1 一元线性回归 187
8.1.2 多元线性回归 191
8.2 判别分析数学模型 193
第9章 生物模式识别 200
9.1 生物斑图 200
9.2 Turing不稳定性 201
9.3 空间一维反应扩散 FHN 模型 205
9.3.1 Turing？Hopf分支 205
9.3.2 Turing？Hopf分支规范型计算 210
9.3.3 Turing？Hopf？Turing分支 215
9.3.4 Turing？Turing 分支的空间共振 220
参考文献 236
索引 237

第1章动力系统的定性、稳定性和分支相关理论
　　定性理论、稳定性理论和分支相关理论是动力系统理论中的三个重要组成部分。定性理论主要研究微分方程解的长期行为，不依赖于方程解析解的形式，而是通过解的几何性质和拓扑性质来研究．它关注的是系统行为的定性特征，如稳定性、周期性、混沌等．定性理论的方法包括使用向量场、极限环、奇点分析等工具．
　　稳定性理论则专注于研究系统解的稳定性特性．稳定性理论中的一个核心概念是李雅普诺夫稳定性，它提供了一种判断系统解是否稳定的数学工具．稳定性理论也研究了系统在受到扰动时的行为，以及系统稳定性随参数变化的规律．
　　分支理论研究的是系统解在某些参数达到特定值时发生的突变现象，这些突变称为分支．分支理论试图预测和解释这些突变，以及它们对系统行为的影响．分支现象在工程、物理、生物学等领域的动态系统中普遍存在，如在流体力学中的分岔现象，或在生态学种群模型中的突变行为．这三个理论相互关联，为理解和预测复杂动态系统的行为提供了强有力的数学工具．通过这些理论，我们可以更好地理解系统的内在特性，预测系统可能的演化路径，以及设计控制策略来引导系统向期望的状态发展．
　　本章对定性理论、稳定性理论及分支相关理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍．1.1节—1.4节的内容取材于文献（东北师范大学微分方程教研室，2022）．
　　1.1稳定性概念
　　考虑微分方程组
　　(1.1.1)
　　其中函数f(t，x)对x∈D？R？和t∈(-∞，+∞)连续，对x满足局部利普希茨条件．
　　设方程(1.1.1)对初值(t？，x？)存在唯一解x=φ(t，t？，x？)，而其他解记作x=x(t，t？，x？)．向量x=(x？，？，x？)？的范数取．
　　如果对于任意给定的ε>0和t？？0，都存在δ=δ(ε，t？)>0，使得只要
　　||x？？x？||<δ，
　　就有
　　||x(t，t？，x？)？φ(t，t？，x？)||<ε
　　对一切t？t？成立，则称(1.1.1)的解x=φ(t，t？，x？)是稳定的．否则是不稳定的．
　　假设x=φ(t，t？，x？)是稳定的，而且存在δ？(0<δ？？δ)，使得只要
　　||x？？x？||<δ？，
　　就有
　　则称(1.1.1)的解x=φ(t，t？，x？)是渐近稳定的．
　　为了简化讨论，通常把解x=φ(t，t？，x？)的稳定性化成零解的稳定性问题．下面记x(t)=x(t，t？，x？)，φ(t)=φ(t，t？，x？)，作如下变量代换：令
　　(1.1.2)
　　则
　　于是在变换(1.1.2)下，将方程(1.1.1)化成
　　(1.1.3)
　　其中F(t，y)=f(t，φ(t)+y)？f(t，φ(t))．这样关于(1.1.1)的解x=φ(t)的稳定性问题就化为(1.1.3)的零解y=O的稳定性问题了．因此，我们可以在下文中只考虑(1.1.1)的零解x=O的稳定性，即假设f(t，O)≡O，并有如下定义．
　　定义1.1.1若对任意ε>0和t？？0，存在δ=δ(ε，t？)>0，使当||x？||<δ时有
　　(1.1.4)
　　对所有的t？t？成立，则称(1.1.1)的零解是稳定的．反之是不稳定的．
　　定义1.1.2若(1.1.1)的零解是稳定的，且存在0<δ？<δ（δ为定义1.1.1中的δ），当||x？||<δ？时，有
　　则称(1.1.1)的零解是渐近稳定的．
　　1.2李雅普诺夫判别法
　　常系数齐次线性微分方程组的稳定性可以通过分析其特征值来判断．考虑如下方程组
　　(1.1.5)
　　其中x？R？，A是n×n矩阵．若A的所有特征根都具严格负实部，则(1.1.5)的零解是渐近稳定的．
　　证明不失一般性，取初始时刻t？=0，设Φ(t)是(1.1.5)的标准基本解矩阵，满足x(0)=x？的解x(t)可写成
　　(1.1.6)
　　由A的所有特征根都具有负实部知
　　(1.1.7)
　　于是知存在t？>0，使t>t？时||Φ(t)||<1．从而对任意ε>0，取δ？=ε，则当||x？||<δ？时，由(1.1.6)有
　　(1.1.8)
　　当t∈[0，t？]时，由解对初值的连续依赖性，对上述ε>0，存在δ？>0，当||x？||<δ？时，
　　(1.1.9)
　　取δ=min{δ？，δ？}，综合上面讨论知，当||x？||<δ时有
　　(1.1.10)
　　即x=O是稳定的．
　　由(1.1.7)知对任意x？有，故x=O是渐近稳定的．
　　考虑自治系统
　　(1.2.1)
　　假设F(x)=(F？(x)，？，F？(x))？在G={x∈R？|||x||？K}上连续，满足局部利普希茨条件，且F(O)=O．
　　引入李雅普诺夫函数概念．
　　定义1.2.1若函数
　　V(x):G→R
　　满足V(O)=0，V(x)和？V/？x？(i=1，2，？，n)都连续，且若存在00(<0)，则称V(x)是正(负)定的；既不是常正又不是常负的函数称为变号函数．
　　通常我们称函数V(x)为李雅普诺夫函数．易知:
　　函数V=x？2+x？2在(x？，x？)平面上为正定的;
　　函数V=？(x？2+x？2)在(x？，x？)平面上为负定的;
　　函数V=(x？2？x？2)在(x？，x？)平面上为变号函数;
　　函数V=x？2在(x？，x？)平面上是常正函数．
　　李雅普诺夫函数有明显的几何意义．*先看正定函数V=V(x？，x？).
　　在三维空间(x？，x？，V)中，V=V(x？，x？)是一个位于坐标面x？Ox？即V=0上方的*面．它与坐标面x？Ox？只在一个点，即原点O(0，0，0)接触（图1.2.1(a)）．如果用水平面V=C（正常数）与V=V(x？，x？)相交，并将截口垂直投影到x？Ox？平面上，就得到一组一个套一个的闭*线族V(x？，x？)=C（图1.2.1(b)），由于V=V(x？，x？)连续可微，且V(0，0)=0，故在x？=x？=0的充分小的邻域中，V(x？，x？)可以任意小．即在这些邻域中存在C值可任意小的闭*线V=C．
　　对于负定函数V=V(x？，x？)可作类似的几何解释，只是*面V=V(x？，x？)将在坐标面x？Ox？的下方．
　　对于变号函数V=V(x？，x？)，自然应对应于这样的*面：在原点O的任意邻域，它既有在x？Ox？平面上方的点，又有在其下方的点．