《高等工程数学（第二版）》内容体现**与现代的紧密结合，符合高等院校工科专业对数学的基本需求。主要内容有距离与范数，包括向量范数与矩阵范数;矩阵的标准形与特征值计算，包括矩阵的Jordan标准形及特征值的幂迭代法和逆幂迭代法;矩阵分解与广义逆矩阵，包括三角分解、满秩分解和奇异值分解;线性方程组的数值解法，包括直接解法与迭代法;*优化方法，包括单纯形法、*优性条件、Newton法、共轭梯度法、罚函数法、组合优化问题、模拟退火算法与遗传算法;函数逼近与数据拟合，包括多项式插值、*小二乘法、小波变换;偏微分方程及其数值解法，包括定解问题、解析解、有限差分法、有限元方法;统计分析，包括一元及多元线性回归、单因素方差分析、Bayes统计分析、多元正态分布的参数估计与假设检验。作为应用，各章均有案例分析及相应的习题。

目录
第二版前言
**版前言
常用符号
第1章 距离与范数 1
1.1 距离空间、极限与连续性1
1.2 距离空间的可分性、完备性与列紧性 3
1.2.1 可数集 3
1.2.2 距离空间的可分性 5
1.2.3 距离空间的完备性 6
1.2.4 距离空间的列紧性 7
1.3 压缩映射原理 8
1.4 范数与赋范空间、Banach空间 10
1.4.1 范数与赋范线性空间 11
1.4.2 赋范线性空间的性质 11
1.4.3 有限维赋范线性空间 12
1.5 Hilbert空间、正交系 14
1.5.1 内积的一般概念 14
1.5.2 正交系 16
1.6 向量范数、矩阵范数及其性质和相容性 18
1.6.1 向量范数 18
1.6.2 矩阵范数及其性质.20
1.6.3 向量范数、矩阵范数的相容性 25
1.7 矩阵的谱半径、矩阵级数、条件数及其应用 27
1.7.1 矩阵的谱半径 27
1.7.2 矩阵序列及矩阵级数.28
1.7.3 矩阵的条件数 32
1.7.4 矩阵的条件数在误差估计中的应用 33
1.8 条件数在判断复共线性中的应用 35
第1章 习题 38
第2章 矩阵的标准形与特征值计算 41
2.1 λ-矩阵及标准形、不变因子和初等因子 41
2.1.1 λ-矩阵的概念 42
2.1.2 λ-矩阵的Smith标准形、不变因子和行列式因子 43
2.1.3 初等因子 45
2.2 Jordan标准形 46
2.2.1 矩阵相似的条件 46
2.2.2 矩阵的 Jordan 标准形 47
2.2.3 Jordan 标准形的应用 51
2.3 酉相似标准形 53
2.3.1 正规矩阵对角化 53
2.3.2 正定矩阵 56
2.4 特征值的估计 58
2.4.1 盖尔圆定理 58
2.4.2 特征值的隔离 60
2.5 特征值的幂迭代法、逆幂迭代法 61
2.5.1 幂迭代法 61
2.5.2 逆幂迭代法 65
2.6 盖尔圆定理在混沌系统同步控制中的应用 67
第2章 习题 70
第3章 矩阵分解与广义逆矩阵 73
3.1 三角分解、满秩分解和奇异值分解 73
3.1.1 Doolittle分解 73
3.1.2 选列主元的Doolittle分解 75
3.1.3 Cholesky分解 78
3.1.4 矩阵的QR分解 79
3.1.5 矩阵的满秩分解 79
3.1.6 矩阵的奇异值分解 83
3.2 Penrose方程及其Moore-Penrose逆的计算 86
3.2.1 Penrose方程 86
3.2.2 Moore-Penrose逆的计算 87
3.3 Moore-Penrose逆的性质 93
3.4 应用 97
3.4.1 Doolittle分解在求解线性方程组中的应用 97
3.4.2 奇异值分解在文本分类中的应用 98
第3章 习题 99
第4章 线性方程组的数值解法 101
4.1 线性方程组的直接解法 101
4.1.1 Gauss消元法 101
4.1.2 直接三角分解解法 106
4.2 广义逆矩阵求解矛盾方程组 112
4.2.1 基本理论结果 112
4.2.2 列满秩的LS问题.114
4.2.3 秩亏损的LS问题.116
4.3 求解线性方程组的迭代法 117
4.3.1 迭代法的一般概念 118
4.3.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 120
4.3.3 超松弛迭代法 125
4.4 极小化方法 126
4.4.1 与方程组等价的变分问题 126
4.4.2 *速下降法与共轭梯度法的定义 127
4.4.3 共轭梯度法的计算公式 130
4.4.4 共轭梯度法的性质 132
4.4.5 预处理共轭梯度法 134
4.5 应用 135
4.5.1 电路问题 135
4.5.2 化学方程式问题 136
4.5.3 平面桁架结构受力问题 137
第4章 习题 140
第5章 *优化方法 143
5.1 线性规划与单纯形法 143
5.1.1 线性规划标准形及*优基本可行解 143
5.1.2 单纯形方法原理 144
5.1.3 单纯形表格法 147
5.1.4 两阶段法和大M法 149
5.2 非线性规划的*优性条件 152
5.2.1 无约束规划问题的*优性条件 153
5.2.2 约束规划问题的*优性条件 154
5.3 无约束非线性优化算法 157
5.3.1 线性搜索 157
5.3.2 *速下降法 158
5.3.3 Newton法 160
5.3.4 共轭梯度法 164
5.4 罚函数法 167
5.4.1 外点罚函数法 168
5.4.2 内点罚函数法 171
5.4.3 广义乘子法 173
5.5 组合优化问题 178
5.6 模拟退火算法 182
5.6.1 受热金属物体分子状态分布 182
5.6.2 基本模拟退火算法 184
5.6.3 模拟退火算法实现技术 185
5.7 遗传算法 186
5.7.1 基本遗传算法 187
5.7.2 遗传算法实现技术 187
5.8 应用 192
5.8.1 机床主轴优化设计 192
5.8.2 装箱问题 194
第5章 习题 195
第6章 函数逼近与数据拟合 197
6.1 多项式插值 197
6.1.1 Lagrange插值 198
6.1.2 差商与Newton插值 199
6.1.3 差分及等距节点的插值公式 202
6.1.4 Hermite插值 204
6.2 *小二乘法 206
6.3 人工神经网络BP算法 208
6.4 小波变换简介 212
6.4.1 Fourier变换与加窗Fourier变换 212
6.4.2 连续小波变换 215
6.4.3 多分辨率分析 217
6.4.4 小波分解与重构算法(Mallat算法) 221
6.4.5 小波变换的应用 224
6.5 应用 226
第6章 习题 229
第7章 偏微分方程及其数值解法 230
7.1 偏微分方程定解问题 230
7.1.1 波动方程的定解问题 230
7.1.2 热传导方程的定解问题 232
7.1.3 Poisson方程的定解问题 234
7.1.4 二阶偏微分方程的分类 235
7.2 偏微分方程的解析解 237
7.2.1 分离变量法 237
7.2.2 积分变换法 244
7.2.3 Green函数法 246
7.3 偏微分方程求解的有限差分法 250
7.3.1 椭圆型方程的有限差分法 250
7.3.2 抛物型方程的有限差分法 257
7.3.3 双*型方程的有限差分法 270
7.4 偏微分方程的变分方法、有限元方法 277
7.4.1 变分方法 277
7.4.2 偏微分方程的有限元方法 283
7.5 应用 289
第7章 习题 292
第8章 统计分析 294
8.1 一元线性回归 294
8.1.1 一元线性回归模型 294
8.1.2 参数的*小二乘估计 295
8.1.3 回归方程的显著性检验 298
8.1.4 回归系数的区间估计 300
8.1.5 因变量的预测 301
8.1.6 可线性化的一元非线性回归 303
8.2 多元线性回归 306
8.2.1 多元线性回归模型 306
8.2.2 参数的*小二乘估计 308
8.2.3 线性假设的显著性检验 310
8.2.4 回归系数的区间估计 311
8.2.5 因变量的预测 312
8.3 单因素方差分析 312
8.3.1 单因素方差分析模型 313
8.3.2 单因素方差分析的统计分析 314
8.3.3 参数估计 318
8.4 Bayes统计分析 320
8.4.1 Bayes统计的基本思想 321
8.4.2 后验分布的计算 322
8.4.3 先验分布的选取 323
8.4.4 Bayes统计参数估计 325
8.4.5 Bayes统计的假设检验 328
8.5 多元正态分布的参数估计与假设检验 331
8.5.1 多元正态分布的定义和性质.331
8.5.2 多元统计量 332
8.5.3 多元正态分布的参数估计 333
8.5.4 多元正态总体参数的假设检验 335
8.6 应用 338
8.6.1 化工制造数据分析 338
8.6.2 皮革生产数据分析 340
8.6.3 城市空气质量分析 341
第8章 习题 343
参考文献 347
电子资源 348

第1章距离与范数
　　距离空间是实直线R的推广，它在一般分析中的地位犹如高等数学中的实直线R.将实直线R推广到一般距离空间，有利于对一般问题的统一处理.
　　本章*先介绍距离空间的概念、性质，在此基础上将实直线R上一些性质和概念推广到距离空间.在线性空间中，引入一种类似于距离的概念一范数.以此为基础，介绍带有范数的线性空间(赋范线性空间丨性质以及一些特殊赋范线性空间.利用向量范数与矩阵范数概念及性质，介绍矩阵的谱半径、条件数以及它们在矩阵级数、求解线性方程组误差估计中的应用.
　　1.1距离空间、极限与连续性
　　Euclid(欧几里得)空间由所有形如;维向量构成，它是三维空间的一种自然推广.类似于三维空间R中Euclid距离，R中任何两点的距离定义为
　　在实际中，除了空间距离，其他距离也有很多，例如大家的学识差异、收入差距等都是一种距离.为了研究一类事物或集合元素之间的差异，或进一步研究集合上的“函数”性质，我们需要在集合元素之间引入距离的概念.
　　定义1.1设X是一非空集合，对X中任何两元素x，y，按某一法则对应唯一实数，而且满足下列三条性质：
　　(1)(非负性)
　　(2)(对称性)
　　(3)(三角不等式)对所有成立，
　　则称为x，y之间的距离，并称X是以d为距离的距离空间，记作(X，d).
　　通常，在距离给出并不引起混淆的情况下，我们简记(X，d)为X.X中元素称为X中的点.下面举一些距离空间的例子，验证所引入距离满足定义1.1的三条性质，留作习题.
　　例1.1设X是任意非空集合，对X中任何两个元素x，y，令
　　则(X，cT}成为一个距离空间，称空间(X，d)为离散距离空间.这种距离是粗鍵的，它只能将X中不同元素区分开，而不能衡量不同元素之间差异的大小.
　　例1.2设，对，分别定义
　　类似于实数集R上数列极限，下面介绍一般距离空间上极限及其相关性质.
　　定义1.2设是距离空间中点列，邱是X中确定的点.若对任何给定正数￡，总存在自然数，当时，成立，则称点列收敛于2；0，或者说是的极限，记作
　　利用距离三角不等式性质，不难发现极限具有下面性质，证明留给读者.性质1.1(1)若距离空间(X，d)中点列和满足
　　(2)若距离空间(X，d)中点列收敛，则极限唯一.例1.5
　　的充要条件是对任何1　　所以，若对任何有.证毕.
　　例1.6距离空间中点列收敛于点，类似于上例的讨论可以得到对任何，都有，即在距离空间(P，dp)中按距离收敛蕴含着按坐标分量收敛.但反之不成立.对，分别令
　　则不难验证，对，且.但是
　　故在距离空间中按坐标分量收敛不能保证按距离收敛.
　　下面将实数区间上函数概念推广到一般距离空间上，并介绍相关概念.
　　定义1.3设和是两个距离空间，r是x到y的一个映射，若对任意给定的，总存在，有则称了在;连续；若在上每一点都连续，则称为上的连续映射.
　　例1.7设是距离空间，是中一定点，定义映射，则不难验证是到的连续映射(函数).
　　连续可以利用极限进行描述，下面的定理反映了连续和极限之间的联系，证明留作习题.定理1.1设是两个距离空间，则下列两个命题等价.
　　(1)在叫连续；
　　(2)对X中任意点列，若，则.
　　1.2距离空间的可分性、完备性与列紧性
　　在实数空间R中，任何实数都可以用有理数逼近，即有理数在R中稠密;R中任何Cauchy(柯西)序列的极限是实数，即R是完备的；此外，R中任何有界数列必有收敛子列，即R是列紧的.实数空间R的这三个良好性质，对研究R上函数性质起到了关键作用.本节，我们将在一般距离空间中引入类似概念并研究其性质.
　　1.2.1可数集
　　为了叙述距离空间的一般性质和概念，我们在本段对集合元素数量“多少”进行数学严格的描述.当集合元素有限时，描述集合元素数量是自然的;但是当集合数量无限时，如何定量描述集合元素数量，以及比较两个无穷多元素集合之间哪个集合元素“多”是无穷集合理论研究的重点内容.19世纪70年代，德国数学家Cantor(康托尔)开创了无穷集合理论，很好地解决了无穷集合元素个数的衡量问题.在学习本节之后，你会惊讶地发现所有自然数和所有有理数居然“一样多
　　定义1.4设是两个集合，如果存在4到B的——映射(既是单射也是满射)，则称A与S对等，记为.
　　显然两个有限集(元素个数有限)对等的充要条件是它们的元素个数相同，从而有限集不可能与它的真子集对等，但是无限集(元素个数无限)却完全不一样.
　　例1.8令A={全体偶数}，Z表示整数集，令
　　则T是A到Z的----映射，从而A～Z.
　　更进一步地，我们可以得到如下关于无限集的性质.
　　定理1.2任何无限集必与它的某真子集对等.
　　证明设A为一个无限集，取出一个元素，由于为无限集，则.同样办法，在A中可以依次取出一列互异元素，记集合.定乂映射如下
　　则r是A到c的一一映射，从而证毕.
　　定义1.5和自然数集N对等的集合称为可数集，不能和N对等的无限集称为不可数集.由定义可知，若A是可数集，则4全体元素可表示成无穷序列的形式，即
　　如整数集是可数集.下面定理说明可数集是“*小”的无限集.
　　定理1.3任意无限集必含有一个可数子集.
　　证明可数子集的构造方法和定理1.2证明构造类似，详细过程在此省略.证毕.
　　定理1.4有限个或可数个可数集的并仍然是可数集；可数个有限集的并(若为无限集)也是可数集.
　　证明不失一般性，我们只证明可数个可数集的并情形，其他情形类似.假设为一列可数集，并假定门，于是有
　　依照对角线原则(箭头所示)可把中全部元素排成如下形式
　　所以是可数集.
　　证毕.