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编者说明
**篇 第11—15 届全国大学生数学竞赛初赛试题及参考解答
第11—15 届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类) 3
第十一届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类A卷) 3
第十一届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类B卷) 4
第十二届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类A卷) 6
第十二届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类B卷) 7
第十三届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类A卷) 8
第十三届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类B卷) 9
第十三届全国大学生数学竞赛初赛补赛试题(数学专业类A卷) 10
第十三届全国大学生数学竞赛初赛补赛试题(数学专业类B卷) 11
第十四届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类A卷) 12
第十四届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类B卷) 13
第十四届全国大学生数学竞赛初赛补赛试题(数学专业类A卷) 14
第十四届全国大学生数学竞赛初赛补赛试题(数学专业类B卷) 15
第十四届全国大学生数学竞赛初赛第二次补赛试题(数学专业类A卷) 16
第十四届全国大学生数学竞赛初赛第二次补赛试题(数学专业类B卷) 17
第十五届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类A卷) 18
第十五届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类B卷) 19
第11—15 届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(数学专业类) 20
第十一届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(数学专业类A卷) 20
第十一届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(数学专业类B卷) 26
第十二届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(数学专业类A卷) 33
第十二届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(数学专业类B卷) 38
第十三届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(数学专业类A卷) 43
第十三届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(数学专业类B卷) 51
第十三届全国大学生数学竞赛初赛补赛试题参考解答(数学专业类A卷) 55
第十三届全国大学生数学竞赛初赛补赛试题参考解答(数学专业类B卷) 62
第十四届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(数学专业类A卷) 68
第十四届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(数学专业类B卷) 75
第十四届全国大学生数学竞赛初赛补赛试题参考解答(数学专业类A卷) 79
第十四届全国大学生数学竞赛初赛补赛试题参考解答(数学专业类B卷) 91
第十四届全国大学生数学竞赛初赛第二次补赛试题参考解答(数学专业类卷) 96
第十四届全国大学生数学竞赛初赛第二次补赛试题参考解答(数学专业类B卷) 103
第十五届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(数学专业类A卷) 108
第十五届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(数学专业类B卷) 116
第11—15届全国大学生数学竞赛初赛试题(非数学专业类) 120
第十一届全国大学生数学竞赛初赛试题(非数学专业类) 120
第十二届全国大学生数学竞赛初赛试题(非数学专业类) 121
第十三届全国大学生数学竞赛初赛试题(非数学专业类) 123
第十三届全国大学生数学竞赛初赛补赛试题(非数学专业类) 124
第十四届全国大学生数学竞赛初赛试题(非数学专业类) 126
第十四届全国大学生数学竞赛初赛补赛试题(非数学专业类) 127
第十四届全国大学生数学竞赛初赛第二次补赛试题(非数学专业类) 128
第十五届全国大学生数学竞赛初赛试题(非数学专业类A卷) 129
第十五届全国大学生数学竞赛初赛试题(非数学专业类B卷) 130
第11—15届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(非数学专业类) 131
第十一届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(非数学专业类) 131
第十二届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(非数学专业类) 136
第十三届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(非数学专业类) 141
第十三届全国大学生数学竞赛初赛补赛试题参考解答(非数学专业类) 147
第十四届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(非数学专业类) 153
第十四届全国大学生数学竞赛初赛补赛试题参考解答(非数学专业类) 158
第十四届全国大学生数学竞赛初赛第二次补赛试题参考解答(非数学专业类) 164
第十五届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(非数学专业类A卷) 168
第十五届全国大学生数学竞赛初赛试题参考解答(非数学专业类B卷) 173
第二篇 第11—15届全国大学生数学竞赛决赛试题及参考解答
第11—15届全国大学生数学竞赛决赛试题(数学专业类) 179
第十一届全国大学生数学竞赛决赛试题(数学专业类低年级组) 179
第十一届全国大学生数学竞赛决赛试题(数学专业类高年级组) 181
第十二届全国大学生数学竞赛决赛试题(数学专业类低年级组) 183
第十二届全国大学

**篇 第11—15届全国大学生数学竞赛初赛试题及参考解答
　　第11—15届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类)
　　第十一届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类A卷)
　　一、(本题15分)空间中有两个圆球面B1和B2，其中B2包含在B1所围球体的内部，且两球面之间的闭区域为D.设B是含在D中的一个圆球，它与球面B1和B2均相切.问:
　　(1)B的球心轨迹构成的*面S是何种*面?
　　(2)B1的球心和B2的球心是*面S的何种点?
　　证明你的论断.
　　二、(本题15分)设α>0，f在[0，1]上非负，有二阶导函数，f(0)=0，且在[0，1]上不恒为零.求证:存在使得
　　三、(本题15分)设A为n阶复方阵，p(x)为的特征多项式，其中A表示A的共轭矩阵.证明:p(x)必为实系数多项式.
　　四、(本题20分)已知f1为实n元正定二次型.令
　　为实元二次型，满足:对任何实数k有kf+f1属于恒号二次型}，
　　其中恒号二次型为零二次型、正定二次型及负定二次型的总称.证明:V按照通常的二次型加法和数乘构成一个实向量空间，并求这个向量空间的维数.
　　五、(本题15分)设，α2(0，1)，实数列fxng满足
　　其中有正的上下界.证明:有界.
　　六、(本题20分)设
　　(1)证明f是上的凸函数.进一步，证明当时，成立
　　(2)设，试确定集合
　　第十一届全国大学生数学竞赛初赛试题(数学专业类B卷)
　　一、(本题15分)设L1和L2是空间中的两条不垂直的异面直线，点B是它们公垂线的中点.点A1和A2分别在L1和L2上滑动，使得.证明直线A1A2的轨线是单叶双*面.
　　二、(本题10分)计算
　　三、(本题15分)设数列满足
　　证明:收敛，并求其极限值.
　　四、(本题15分)
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　五、(本题20分)设A是数域F上的n阶矩阵，若A2=In(In为单位矩阵)，则称A为对合矩阵.试证:
　　(1)若A是n阶对合矩阵，则;
　　(2)n阶对合矩阵A一定可以对角化，其相似对角形为;
　　(3)若A，B均是n阶对合矩阵，且AB=BA，则存在可逆矩阵P使得和
　　同时为对角矩阵.
　　六、(本题15分)
　　(1)证明对任意的，存在唯一的使得;
　　(2)
　　七、(本题10分)设正项级数