《大学生数学竞赛考点直击与备战指南（数学类）（全二册）》是作者团队基于全国大学生数学竞赛考试内容（数学类）的要求，参考国内外权威大学生数学竞赛试题资源，总结多年大学生数学竞赛培训经验，针对大学生在数学竞赛中的难点和薄弱点，进行系统梳理、总结归纳而成。《大学生数学竞赛考点直击与备战指南（数学类）（全二册）》分上下两册。上册为数学分析，共六章，内容包括分析学引论、极限与连续，微分学，黎曼积分，广义积分与含参变量积分，函数的凹凸性与积分不等式，无穷级数。下册为高等代数与解析几何，共七章，内容包括矩阵与行列式，多项式，线性方程组，线性空间与线性变换，二次型与内积空间，几何空间中的线性结构和度量结构、空间中的平面与直线，空间中的二次*面与*线。每章包括竞赛大纲解读、内容思维导图、考点分布及分值、内容点睛、内容详情、全国初赛真题赏析、全国决赛真题赏析、各地真题赏析、模拟导训等，且以二维码链接了模拟导训详细解答，供读者参考。深度拆解竞赛命题特点，兼顾基础巩固与压轴题型突破，助力竞赛学子有效复习。

目录
前言
**章 分析学引论、极限与连续 1
一、竞赛大纲解读 1
二、内容思维导图 3
三、考点分布及分值 3
四、内容点睛 4
五、内容详情 5
六、全国初赛真题赏析 11
七、全国决赛真题赏析 34
八、各地真题赏析 47
九、模拟导训 62
第二章 微分学 64
一、竞赛大纲解读 64
二、内容思维导图 66
三、考点分布及分值 66
四、内容点睛 67
五、内容详情 68
六、全国初赛真题赏析 79
七、全国决赛真题赏析 92
八、各地真题赏析 101
九、模拟导训 113
第三章 黎曼积分 115
一、竞赛大纲解读 115
二、内容思维导图 117
三、考点分布及分值 117
四、内容点睛 118
五、内容详情 119
六、全国初赛真题赏析 135
七、全国决赛真题赏析 146
八、各地真题赏析 149
九、模拟导训 151
第四章 广义积分与含参变量积分 154
一、竞赛大纲解读 154
二、内容思维导图 155
三、考点分布及分值 155
四、内容点睛 156
五、内容详情 156
六、全国初赛真题赏析 162
七、全国决赛真题赏析 168
八、各地真题赏析 170
九、模拟导训 178
第五章 函数的凹凸性与积分不等式 180
一、竞赛大纲解读 180
二、内容思维导图 180
三、考点分布及分值 181
四、内容点睛 182
五、内容详情 182
六、全国初赛真题赏析 185
七、全国决赛真题赏析 198
八、各地真题赏析 203
九、模拟导训 206
第六章 无穷级数 209
一、竞赛大纲解读 209
二、内容思维导图 210
三、考点分布及分值 211
四、内容点睛 211
五、内容详情 212
六、全国初赛真题赏析 223
七、全国决赛真题赏析 230
八、各地真题赏析 231
九、模拟导训 244
参考文献 247

**章分析学引论、极限与连续
　　一、竞赛大纲解读
　　1.实数集R、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
　　【解读】实数集的完备性理论是数学分析的基石，核心是实数集的连续性与完备性。有理数与无理数在实数集中是处处稠密的(任意两实数间都有无穷多有理数和无理数)。确界存在定理：非空有上(下)界的实数集必有上(下)确界，是实数完备性的核心表达。闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理，共同构成了实数完备性的等价刻画，是后续极限、连续理论的逻辑基础。
　　2.R2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、R2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在R？上的推广。
　　【解读】从一维实数集推广到R2乃至R？，引入距离、邻域等概念，定义聚点、界点、边界、开集、闭集、有界集等拓扑概念，是多元函数分析的几何铺垫。R2中的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理，是实数完备性在高维空间的直接推广，保证了高维空间中极限与连续的良好性质。
　　3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质。
　　【解读】函数是特殊的映射，变换是映射的几何直观表达；隐函数是由方程确定的函数，反函数是逆映射的特例，反函数存在性定理(单调必可逆)是其核心判定依据。初等函数(幂、指、对、三角、反三角)及其四则、复合运算，是微积分研究的主要对象。
　　4.数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质)。
　　【解读】数列极限是分析的入门核心，收敛数列的四大性质：极限唯一性(极限存在必唯一)、有界性(收敛数列必有界)、保号性(极限符号可局部保持)、不等式性质(极限大小关系可传递)，这些性质是证明极限存在、计算极限值的基础工具。
　　5.数列收敛的条件(柯西(Cauchy)准则、迫敛性、单调有界准则、数列收敛与其子列收敛的关系)，极限及其应用。
　　【解读】常用的判别法：柯西准则(无需知道极限值即可判断收敛性)、迫敛性(夹逼定理，用于放缩求极限)、单调有界准则(单调有界数列必收敛)，以及“数列收敛等价于所有子列收敛于同一极限”。重要极限是自然指数函数与对数函数的定义基础，广泛用于复利、增长模型等实际问题。
　　6.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质，归结原则和柯西收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系。
　　【解读】一元函数极限的定义与基本性质，归结原则(函数极限与数列极限等价)、柯西收敛准则，保证了极限运算的严谨性。两个重要极限(三角函数极限核心)、(指数函数极限核心)。多元函数的二重极限与累次极限需注意二者存在性与相等性的区别，是多元函数连续性的前提。无穷小量与无穷大量的阶的比较，以及记号O(同阶无穷小)、o(高阶无穷小)，是近似计算与级数分析的关键。
　　7.函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性)，有界闭集上连续函数的性质(有界性、*大值*小值定理、介值定理、一致连续性)。
　　【解读】函数连续与间断：连续是极限等于函数值，间断点分为可去、跳跃、无穷、振荡四类。一致连续性是比普通连续性更强的概念，要求函数在区间上的变化“均匀可控”。有界闭集上连续函数的核心性质：有界性、*值定理(必取到*大/*小值)、介值定理(必取到区间内所有值)、一致连续性，是闭区间上函数分析的重要结论。
　　三、考点分布及分值
　　全国大学生数学竞赛初赛(数学类)分析学引论、极限与连续中的考点分布及分值。
　　全国大学生数学竞赛决赛(数学类)分析学引论、极限与连续中的考点分布及分值。
　　四、内容点睛
　　五、内容详情
　　(一)实数的完备性
　　定义1(确界)设S？R，S≠？.若存在η∈R满足
　　(1)对一切的x∈S，有x≤η;
　　(2)对任意的α<η，存在x？∈S，使得x？>α，则称η是S的上确界，记为η=supS.
　　若存在ξ∈R满足
　　(1)对一切的x∈S，有x≥ξ;
　　(2)对任意的β>ξ，存在x？∈S，使得x？<β，则称ξ是S的下确界，记为ξ=infS.
　　定义2设闭区间列{[a？，b？]}满足如下条件:
　　(1)[a？，b？]？[a？？？，b？？？]，n=1，2，？;
　　(2)lim(n→∞)(b？？a？)=0，
　　则称{[a？，b？]}为闭区间套，简称区间套.定义2中的条件(1)实际上等价于条件
　　a？≤a？≤？≤a？≤？≤b？≤？≤b？≤b？.
　　定义3设S为数轴上的非空点集，ξ为直线上的一个定点(当然可以属于S也可以不属于S).若对于任意正数ε，在(ξ？ε，ξ+ε)中含有S的无限个点，则称ξ是S的一个聚点.
　　定义4设S为数轴上的一个点集，H为一些开区间的集合(即H中的元素均为形如(α，β)的开区间).若对于任意x∈S，都存在(α，β)∈H，使得x∈(α，β)，则称H是S的一个开覆盖.
　　(二)实数基本定理
　　1.确界定理.
　　对任意非空数集E，若有上界，则必有上确界;若有下界，则必有下确界.
　　2.单调有界准则.
　　单调有界数列必收敛.
　　3.闭区间套定理.
　　任何闭区间套必有唯一的公共点.
　　4.海涅？博雷尔(Heine？Borel)有限覆盖定理.
　　闭区间上的任一开覆盖，必存在有限子覆盖.
　　5.聚点定理.
　　有界无穷点集至少有一个聚点.
　　6.致密性定理.
　　有界数列必有收敛子列.
　　7.柯西收敛准则.
　　数列{x？}收敛的充分必要条件是:对任意给定的ε>0，存在N>0，当m，n>N时，有|x？？x？|<ε.
　　这七个定理中，除有限覆盖定理外，其余六个定理属于同一类型，它们都指出，在一定条件下，便有某一种“点”存在，分别是:确界点、极限点、某子列收敛点、聚点、公共点.有限覆盖定理是这六个定理的逆否形式，无论用这六个定理来分别证明有限覆盖定理，还是用有限覆盖定理证明这六个定理，都可以用反证法证明，而这六个定理都可以直接推出.
　　(三)数列极限
　　定义5设{a？}是一给定的数列，a是一个实常数.如果对于任意给定的正数ε，可以找到正整数N，使得当n>N时，|a？？a|<ε成立，那么称常数a是数列的极限，或称数列{a？}收敛于a，记为，或.
　　定义6设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，可以找到正数X，使得当|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)？A|<ε，那么常数A称作函数时的极限，记作.
　　定义7设函数f(x)在x？的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，可以找到正数δ使得当0<|x？x？|<δ时，|f(x)？A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在点x？的极限，记为或.
　　利用极限定义验证极限的前提是知道数列(函数)的极限值，关键是找出N(δ)，有如下基本方法.
　　(1)求*小的N:从不等式|a？？a|<ε直接解出n.
　　(2)适当放大法:不等式|a？？a|<ε比较复杂，无法直接解出，或求解过程比较繁琐，为此先将表达式|a？？a|进行化简，并适当放大，使之成为关于n的简单函数H(n)(仍为无穷小量)，即|a？？a|　　(3)分步法:不对n作限制(尤其是函数极限)，便无法化简和放大，为此先限定n>N？，然后按(2)求得N？，于是所求的N=max{N？，N？}.
　　(四)柯西收敛准则
　　定义8若数列{a？}具有以下特征:对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当n，m>N时，|a？？a？|<ε成立，则称{a？}是一个柯西列(或基本数列).
　　定理1(柯西收敛准则1)数列{a？}收敛的充分必要条件是{a？}是一个柯西列.
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