自由*面光学面型具有较高的设计自由度，可有效校正离轴、大视场光学系统的非对称像差和高阶像差，因此自由*面在复杂光学成像系统中的应用越来越广泛。自由*面对复杂成像光学系统像差的优化和设计方法，决定了*终自由*面光学系统的设计效率和成像质量。《自由*面成像光学系统像差理论与设计方法》从光学自由*面表征函数出发，基于矢量波像差理论，深入研究了非旋转对称自由*面成像光学系统波像差的解析模型，分析了视场离轴、光瞳离轴以及偏轴自由*面光学系统的像差分布特性，提出了非旋转对称自由*面成像光学系统设计方法，进一步完善了自由*面偏振成像光学系统像差理论，可为大视场离轴多维度光学成像系统设计提供设计指导。

目录
“偏振成像探测技术学术丛书”序
前言
第1章 绪论 1
1.1 研究背景与意义 1
1.2 自由*面内涵 2
1.3 自由*面成像光学系统应用现状 3
1.4 光学系统像差理论研究现状 8
1.5 偏振像差研究现状 9
1.5.1 国外研究现状 9
1.5.2 国内研究现状 11
参考文献 13
第2章 自由*面面型表征函数 17
2.1 圆域正交多项式 17
2.1.1 正交函数族、正交多项式与格雷姆-施瓦茨正交化过程 17
2.1.2 Zernike多项式 18
2.1.3 **类切比雪夫多项式 20
2.1.4 第二类切比雪夫多项式 22
2.1.5 拉盖尔多项式 23
2.1.6 埃尔米特多项式 25
2.1.7 Q-TYPE函数多项式 27
2.2 非圆域正交多项式 30
2.2.1 圆域正交多项式在非圆域不正交证明 30
2.2.2 非圆域正交多项式构造理论 31
2.3 非正交函数 34
2.3.1 XY多项式 34
2.3.2 径向基函数 36
2.3.3 拉格朗日多项式 37
参考文献 39
第3章 非轴对称光学系统像差分布 40
3.1 非轴对称光学系统的基本定义及性质 40
3.1.1 非轴对称光学系统的基本定义 40
3.1.2 非轴对称光学系统的基本性质 41
3.2 非轴对称光学系统的一阶特性 42
3.2.1 非轴对称光学系统物像中心的确定 42
3.2.2 光轴光线的物方孔径角和表面投射高度 44
3.2.3 非轴对称光学系统像差场偏心矢量的确定 45
3.3 非轴对称光学系统的三阶像差节点分布特性 47
3.3.1 矢量波像差 48
3.3.2 三阶波像差的节点分布特性 50
参考文献 57
第4章 自由*面光学系统像差分析方法 59
4.1 Zernike多项式与波像差的关系 59
4.2 Zernike多项式自由*面像差分析方法的建立 63
4.3 Zernike多项式自由*面引入像差特性 67
4.3.1 Zernike多项式Z5/6 项 67
4.3.2 Zernike多项式Z7/8 项 69
4.3.3 Zernike多项式Z9 项 71
4.3.4 Zernike多项式Z10/11 项 73
4.3.5 Zernike多项式Z12/13 项 73
4.3.6 Zernike多项式Z14/15 项 76
4.3.7 Zernike多项式Z16 项 76
参考文献 78
第5章 非旋转对称自由*面光学系统像差特性 79
5.1 视场离轴自由*面光学系统像差特性研究 79
5.1.1 含Z5/6项自由*面的视场离轴光学系统像差分布特性 79
5.1.2 含Z7/8项自由*面的视场离轴光学系统像差分布特性 83
5.1.3 含Z9 项自由*面的视场离轴光学系统像差分布特性 85
5.1.4 含Z10/11项自由*面的视场离轴光学系统像差分布特性 85
5.1.5 含Z12/13项自由*面的视场离轴光学系统像差分布特性 87
5.1.6 含Z14/15项自由*面的视场离轴光学系统像差分布特性 91
5.1.7 含Z16项自由*面的视场离轴光学系统像差分布特性 92
5.2 光瞳离轴自由*面光学系统像差特性研究 94
5.2.1 光瞳离轴自由*面光学系统像差解析模型 94
5.2.2 含Z5/6项自由*面的光瞳离轴光学系统像差分布特性 96
5.2.3 含Z7/8项自由*面的光瞳离轴光学系统像差分布特性 99
5.2.4 含Z9项自由*面的光瞳离轴光学系统像差分布特性 104
5.3 偏轴自由*面光学系统像差特性研究 105
5.3.1 偏轴自由*面光学系统像差解析模型 105
5.3.2 含Z5/6项自由*面的偏轴光学系统像差分布特性 107
5.3.3 含Z7/8项自由*面的偏轴光学系统像差分布特性 110
5.3.4 含Z9项自由*面的偏轴光学系统像差分布特性 113
参考文献 115
第6章 自由*面空间光学系统设计 116
6.1 视场离轴自由*面光学系统设计 116
6.1.1 设计背景及指标计算 116
6.1.2 光学系统初始结构计算 117
6.1.3 自由*面面型设计及系统设计结果 120
6.1.4 公差分析 125
6.2 光瞳离轴自由*面光学系统设计 126
6.2.1 设计背景及指标 126
6.2.2 光学系统初始结构计算 127
6.2.3 自由*面面型设计及PSF 椭率的控制 129
6.2.4 设计结果及公差分析 132
6.3 偏轴自由*面光学系统设计 136
6.3.1 设计指标 136
6.3.2 光学系统初始结构计算 136
6.3.3 自由*面面型设计 139
6.3.4 设计结果及公差分析 142
参考文献 146
第7章 自由*面引入偏振像差建模 148
7.1 同轴系统偏振像差基本理论 148
7.1.1 偏振像差函数 148
7.1.2 偏振光线追迹 151
7.1.3 偏振像差矩阵的四阶近似展开 153
7.2 离轴系统偏振像差基本理论 158
7.3 Zernike多项式自由*面引入的相位像差 160
7.3.1 Zernike多项式Z5/6 项 162
7.3.2 Zernike多项式Z7/8 项 163
7.3.3 Zernike多项式Z9 项 165
7.4 Zernike多项式自由*面引入的二向衰减和相位延迟 167
7.4.1 琼斯矩阵的三维扩展 167
7.4.2 自由*面的偏振转换矩阵表示 170
参考文献 171
第8章 离轴自由*面光学系统偏振像差分布特性分析 173
8.1 视场离轴自由*面光学系统偏振特性分析 173
8.1.1 含Z5/6项自由*面的视场离轴光学系统偏振特性分析 174
8.1.2 含Z7/8项自由*面的视场离轴光学系统偏振特性分析 179
8.1.3 含Z9项自由*面的视场离轴光学系统偏振特性分析 181
8.2 光瞳离轴自由*面光学系统偏振特性分析 184
8.2.1 含Z5/6项自由*面的光瞳离轴光学系统偏振特性分析 185
8.2.2 含Z7/8项自由*面的光瞳离轴光学系统偏振特性分析 186
8.2.3 含Z9 项自由*面的光瞳离轴光学系统偏振特性分析 188
参考文献 189
第9章 自由*面空间光学系统的偏振优化设计及偏振特性分析 191
9.1 自由*面光学系统偏振优化设计方法 191
9.2 视场离轴空间光学系统偏振优化设计及偏振特性分析 193
9.2.1 光学系统初始结构计算及偏振特性分析 193
9.2.2 自由*面视场离轴光学系统偏振优化设计结果及偏振特性分析 196
9.2.3 公差分析 199
9.3 光瞳离轴空间光学系统偏振优化设计及偏振特性分析 199
9.3.1 光学系统初始结构计算及偏振特性分析 200
9.3.2 自由*面光瞳离轴光学系统偏振优化设计结果及偏振特性分析 201
9.3.3 公差分析 210
参考文献 210

第1章绪论
　　1.1研究背景与意义
　　随着空间技术的不断发展，空间观测需求不断增加，空间观测光学系统正朝着长焦距、大口径、大视场、多谱段以及高分辨率的方向发展[1-7]。由于传统的透射系统具有体积大、色差严重、空间环境适应性差等缺点，已无法满足目前的空间成像要求。而相比于透射式光学系统，反射式光学系统具有结构紧凑、无需校正色差和二级光谱、结构稳定性强等特点，能够满足大口径全谱段下的高分辨率成像需求[8-12]，因此各国均开展了反射式空间光学系统的研究。反射式光学系统从结构形式上可以分为轴对称式结构和非轴对称式结构。轴对称式结构一般是指具有旋转对称特性的同轴反射式结构，如卡塞格林系统、Gregory系统、Ritchey-Chretien系统等。由于其设计、加工和装调相对简单，目前已被广泛应用于空间观测等领域。但是，同轴反射系统无法避免中心遮拦的影响，同时系统成像视场无法做大，不能满足当前空间光学系统大视场和高分辨率的要求[13]。因此，各国正逐渐将研究重点转向非轴对称式光学系统。非轴对称式光学系统包括离轴系统和偏轴系统两种形式。其中，离轴系统是指通过视场离轴或光瞳离轴的方式将光路进行横向或纵向的扩展，从而消除中心遮拦的影响；而偏轴系统是指利用光学元件的偏心或倾斜将光路折叠，进而避免光学元件对光路遮挡[14]。
　　虽然非轴对称式系统消除了中心遮拦的影响，但是由于其在结构上失去了旋转对称特性，且光学元件的偏心和倾斜将引入大量额外的非对称像差，设计者仅采用传统旋转对称的球面或非球面很难校正这些残余像差，限制了此类光学系统的发展。20世纪后期，超精密加工技术取得巨大进步，自由*面等一系列非旋转对称面型的加工不再成为限制光学设计的条件，设计者可以利用自由*面所提供的多自由度，对上述非轴对称式系统进行设计。然而，传统的光学系统像差理论是建立在近轴光线追迹基础之上的，不适用于含有自由*面的非轴对称式光学系统。设计者在设计此类光学系统时，由于缺少必要的像差理论作为指导，仅能依靠设计软件的迭代优化算法对系统进行盲目的优化设计，无法通过面型的变化情况洞察和控制系统的像差分布。此外，过于复杂的面型还会增加加工和检测的难度，极大地限制了自由*面在实际光学系统当中的应用。因此，开展适用于含有自由*面的非轴对称光学系统的像差理论和设计方法研究迫在眉睫。
　　自由*面的表征形式复杂多样，面型自由度较大，若缺少必要的理论指导，设计者将难以通过系统像差分布特性预判系统*终的成像质量，更无法对像差进行有针对性的控制。仅依靠设计软件对自由*面光学系统进行盲目的优化设计，严重影响设计效率和设计结果的可靠性。本书通过对自由*面光学系统像差的解析，建立起自由*面面型与像差之间的联系，为从根本上理解自由*面光学系统像差分布特性提供必要的理论支持和指导。同时，对自由*面光学系统像差特性进行分析，能够对非轴对称光学系统像差的校正提供可行性判断，从而实现对像差场分布的精细化控制。对自由*面光学系统像差理论的研究，将进一步完善光学系统像差理论体系，为具有特殊需求的自由*面光学系统设计提供坚实的理论基础，对于推广自由*面在成像光学领域中的应用具有重要意义。
　　1.2自由*面内涵
　　自由*面*早应用于机械表面，特指不具有旋转对称特性的表面面型。这类自由*面可以是不连续的，对面型精度的要求不高，一般可以利用一个或多个表征函数对目标面型进行拟合。随着加工技术水平的不断提高，高精度自由*面逐步被应用到光学领域，形成了光学自由*面。光学自由*面*先被应用在LED车灯、路灯照明以及激光整形等非成像系统当中，目前技术相对成熟。其面型表征函数以非均匀有理B样条为主。应用在成像系统的光学自由*面由于其对面型精度的要求更高，因此起步相对较晚，至今仍没有一个统一的定义。
　　由于机械自由*面的*面面积比较大，相应的对于面型的精度要求相对较低。而光学自由*面一般孔径比较小，一般为几十毫米甚至几毫米。但是对面型的精度要求非常高，要求达到亚微米级的面型度和纳米级的表面粗糙度。所以机械自由*面的描述方法并不完全适用于光学自由*面。虽然也有一些运用机械自由*面描述方法设计光学自由*面的研究，但是就总体而言，机械自由*面的描述方法很难满足设计光学自由*面的精度要求，尤其是成像系统中自由*面精度的要求。
　　自由*面光学技术是先进光学工程领域的前沿代表技术之一。传统的折射光学系统一般是由球面或非球面透镜构成的共轴系统，是关于光轴旋转对称的。但随着光电仪器使用范围的扩大、性能要求的提高，传统光学系统由于体积大，已经无法满足光电设备小型化的需要，反射光学系统的出现解决了这一问题。但共轴反射系统中心存在中心遮拦，使能量的利用率降低，于是发展出非共轴反射系统，如三反系统等。非共轴的离轴像差很大，且不易校正，使系统的视场受到限制。在非共轴系统中引入自由*面能很好地校正离轴像差，从而扩大视场。
　　随着超精密数控制造技术的发展，现代超精密机床在纳米量级激光干涉测量技术的即时测量与控制下，采用金刚石单点切削。相对于传统加工方法，这种加工方法加工精度等级提高了1～2个数量级，达到了亚微米量级形状精度与纳米量级表面粗糙度。超精密金刚石单点切削加工为自由*面器件光学表面的机械加工奠定了可靠的技术基础，其中集成了金刚石车、铣、磨削的多轴超精密车床可以直接加工高精度的各类非旋转对称面型。
　　光学自由*面的表征方式一直是光学设计领域的研究热点。根据使用要求和加工方式的不同，自由*面的表征形式也不尽相同。目前，常见的光学自由*面的表征方式有高斯径向基函数(Gaussian radial basis function，GRBF)、Forbes多项式、XY多项式、Zernike多项式以及由国内学者提出的新型复合函数等。由于每种表征形式对自由*面的表征能力不同，针对不同的应用背景应该选取合适的表达方式。为了能够比较全面地研究光学自由*面的表征形式，本节将从基函数形式、多项式函数形式以及新型复合函数形式中分别选取一种典型的自由*面表达方法进行讨论。
　　由于传统加工技术的限制，平面与球面是光学元件中使用*为广泛的光学表面。广义的非球面是指不能用球面定义描述的面型，即不能只用一个半径确定的面型。非球面囊括了各种各样的面型，有旋转对称的非球面和非旋转对称的非球面。有关于两轴对称的面型，排列有规律的微结构阵列，有包含衍射结构的光学表面，还包括形状各异的自由*面等。在应用光学中，非球面一般是指狭义的非球面，主要是指含有非球面系数的高次多项式来表示的面型，其中心到边缘的*率半径连续发生变化[15]。本文主要研究应用于成像光学系统的光学自由*面，这里再次给出本书对光学自由*面的定义，即：各处*率不同的、非旋转对称的，并且能用单一表达式解析的连续光滑光学表面。
　　1.3自由*面成像光学系统应用现状
　　自由*面光学面型是随着以超精密金刚石切削技术为代表的现代加工与检测技术的发展而逐渐推广的。它可以在一个表面同时实现多种功能，这在提高光学性能、简化结构方面有着非球面无法比拟的优势，因而其广泛应用于照明系统[16]、头盔显示[17-21]、超薄投影显示[22]及其他现代复杂光学系统中[23-29]，如图1.1所示。
　　图1.1常见自由*面光学表面应用形式
　　在反射望远镜系统中，由于边缘视场的像差会随着视场的扩大而迅速增大，所以视场较小成为限制反射望远镜系统光学性能的关键因素。由于自由*面各部分的面型均可通过使用不同的面型表征方式而分别控制，全视场的像差平衡能力强，所以，高面型精度自由*面的应用使大视场、高分辨率的反射望远镜系统的设计成为可能。
　　虽然自由*面至今在国际上仍没有统一的定义，但为了研究方便，这里给出本节对自由*面的定义：各处*率不同的，非旋转对称的，并且能用单一表达式解析的连续光滑光学表面。由于*初受到加工水平的限制，自由*面早期仅被应用在非成像光学系统当中，如路灯照明、汽车车灯以及激光整形等领域；现在自由*面在这些领域的应用已经相对成熟。随着单点金刚石加工技术的发展，应用在成像光学领域的高精度光学自由*面正逐步被各国所重视。
　　欧洲空间局(European Space Agency，简称欧空局)在2012年开展了一项大气气体观测计划(PREMIER)，其中的红外星体边缘探测器光学系统采用了离轴四反结构，四片反射镜均为自由*面，主镜和三镜、次镜和四镜分别共有同一结构件，如图1.2所示。虽然该系统的加工和装调比较困难，但自由*面的引入大大减小了系统的体积和重量，并且系统在6～13μm波长下的成像质量接近衍射极限[30]。
　　荷兰航天局于2014年发射的臭氧层监视系统，其主镜和次镜均采用了X超环面类型的自由*面设计，该面型在X方向和Y方向具有不同的光焦度，适合于线阵推扫成像。自由*面的引入使得系统在推扫方向实现114°超大视场成像，地面覆盖宽度达到2600km，使其在较短时间内能够完成对全球臭氧层数据的采集[31]。
　　图1.2系统光路图及结构图
　　欧洲特大望远镜项目中的中波红外成像光谱仪，其红外光谱光学模块中的主镜由原来设计的二次*面改为自由*面后，使得其余反射镜均由二次*面变为球面，光路如图1.3所示。自由*面的引入不仅使系统在20°×20°范围内的成像质量得到显著提升，而且降低了整个系统的加工成本。
　　图1.3光学系统光路图
　　NASA的詹姆斯？韦布空间望远镜后端的红外多目标光谱仪为了矫正离轴像散，其中一块反射镜同样使用了离轴自由*面，如图1.4所示。
　　Leica公司为欧空局研制的新型离轴三反消像散相机在次镜与三镜之间加入自由*面校正板，其全视场波像差从原来的λ/7提高到λ/20，大大提升了系统成像质量，其系统光路及结构如图1.5所示。
　　另外，欧洲的自由*面动态镜项目旨在利用推进器阵列对反射镜局部表面进行拉伸，产生动态可变的表面面型，通过对次镜面型的动态控制，实现光学系统像质的人为控制，如图1.6所示。