内容简介
《非光滑随机动力学的GCM方法及其应用》以实际工程问题为背景,结合作者的研究成果,详细介绍典型非光滑系统的随机动力学,主要介绍摩擦和碰撞等典型非光滑系统在不同类型噪声激励下的随机动力学行为。《非光滑随机动力学的GCM方法及其应用》旨在建立和发展一套高效快速的非光滑系统随机动力学的数值分析方法,突出这类系统的非光滑特性,阐明随机噪声的作用机理,为实际工程问题提供一定的解决思路。
目录
目录
前言
第1章 绪论 1
参考文献 3
第2章 非光滑随机动力系统 6
2.1 引言 6
2.2 非光滑动力系统的基本概念和研究方法 6
2.2.1 非光滑摩擦 7
2.2.2 非光滑碰撞 9
2.2.3 非光滑动力系统的研究方法 13
2.3 随机动力学分析 14
2.3.1 随机变量和随机过程 15
2.3.2 随机响应和随机分岔 16
2.3.3 随机动力系统概率密度响应求解方法 17
2.4 随机噪声激励的模拟 17
2.4.1 高斯白噪声的模拟 17
2.4.2 泊松白噪声的模拟 18
2.4.3 窄带噪声的模拟 20
2.4.4 非高斯色噪声的模拟 21
2.5 GCM方法实现过程 22
2.6 本章小结 24
参考文献 24
第3章 基于GCM方法的摩擦振子随机响应 32
3.1 引言 32
3.2 不同类型摩擦振子随机响应分析 33
3.2.1 Coulomb摩擦模型 33
3.2.2 Dahl摩擦模型 40
3.3 本章小结 43
参考文献 44
第4章 基于改进GCM方法的弹性碰撞振子随机响应 45
4.1 引言 45
4.2 弹性碰撞振子模型 46
4.3 谐和激励下弹性碰撞振动系统稳态概率密度响应GCM方法 46
4.4 随机激励下Duffing-Van der Pol弹性碰撞振子稳态响应分析 47
4.4.1 接触面阻尼系数的稳态响应 47
4.4.2 非线性参数g的稳态响应 51
4.4.3 外激频率的稳态响应 55
4.5 本章小结 59
参考文献 59
第5章 基于改进GCM方法的刚性碰撞振子随机响应 61
5.1 引言 61
5.2 基于改进GCM方法的刚性碰撞系统新策略实现过程 62
5.2.1 单边刚性碰撞策略 62
5.2.2 双边刚性碰撞策略 63
5.3 单边刚性碰撞振子随机响应分析 65
5.3.1 算例1:高斯白噪声激励下的Duffing-Van der Pol单边刚性碰撞振子 65
5.3.2 算例2:泊松白噪声激励下的Rayleigh单边刚性碰撞振子 70
5.4 双边刚性碰撞振子随机响应分析 73
5.4.1 两侧接触面对称的情形 74
5.4.2 两侧接触面不对称的情形 76
5.4.3 不同恢复系数的情形 77
5.4.4 不同高斯白噪声强度的情形 78
5.4.5 高斯色噪声激励下的情形 79
5.5 本章小结 82
参考文献 82
第6章 工程应用专题 84
6.1 引言 84
6.2 摩擦和弹性碰撞的机电Rayleigh-Duffing振子随机动力学分析 84
6.2.1 无谐和激励情形 85
6.2.2 有谐和激励情形 91
6.3 三维单边刚性碰撞振动系统随机动力学分析 100
6.3.1 液压安全阀的理论模型 101
6.3.2 三维系统的随机响应 105
6.3.3 三维系统的随机P分岔 108
6.4 双边碰撞的能量采集模型随机动力学分析 114
6.4.1 双边弹性碰撞模型稳态响应 116
6.4.2 双边刚性碰撞模型稳态响应 121
6.5 本章小结 130
参考文献 131
试读
第1章 绪论
随着自然科学和社会科学的发展,人们发现非线性系统几乎存在于各个领域,如天气预报、证券市场、桥梁设计、地震救灾、细胞癌变等。非线性系统所包含的混沌、分岔、分形等现象值得人们探索[1-9]。
非线性系统按照研究对象可以分为光滑系统和非光滑系统。非光滑系统尤为复杂,它具有光滑系统不存在的一些动力学特性,对其研究有重要的现实意义[10]。非光滑因素主要是由约束条件、状态空间、耦合关系等决定的[11-14]。常见的非光滑因素包括接触碰撞、各类摩擦、脉冲、迟滞、间隙等[15]。这些非光滑因素广泛地出现在金融经济、机械、土木、海洋工程、航空航天等学科和领域中[16-21]。它们既可以产生许多积极作用,促进技术的发展,也会产生众多不良效果,造成财力、人力的消耗。在航空航天工程中,机翼受到的阵风颤振[22-28]、在轨航天器之间对接引起的碰撞[29-32]、空间可展机构之间存在的间隙和摩擦[15-33]等问题同样值得关注和研究。非光滑因素的客观存在,常常会加速机械机构的损耗。例如,图1-1展示了在轨捕获非合作目标过程。在捕获过程中,对于航天器可展机构,间隙、碰撞、摩擦等非光滑因素的存在使得实际运动会与理想状态造成偏差,从而在机构操作过程中造成结构振动和变形,严重影响后续航天器姿态运动和整体稳定性。除此以外,这些非光滑因素还可能导致航天器结构失稳、帆板无法正常展开等问题[34]。因此,在飞行器结构设计阶段,需要利用理论和数值计算分析简化的非光滑振子的响应,并分析非光滑因素表现出来的非线性系统的动力学特性,从而为后续的飞行器试验和装配提供定性或者定量的结论。由此,研究非光滑振子表现出来的动力学现象的本质对飞行器结构的安全性、可靠性具有重要的现实意义。
非光滑因素简化的非线性系统由于状态空间或向量场的间断性或不可微性,通常具有奇异性和强非线性等特点[12]。机械工程中的结构多处于复杂的工作环境,因此随机激励带来的影响不可避免。将随机激励利用概率和统计方式描述为随机过程或者随机变量附加到确定性系统中,极大地丰富了非线性系统的动力学行为,从而衍生出随机分岔、随机稳定性、可靠性分析等理论和方法[35-37]。当随机因素与非光滑因素共存时,系统常常能诱导出许多复杂的现象,包括噪声诱导同步、*次穿越问题等。非光滑随机系统动力学研究各类非光滑系统在各种随机激励下的动态行为,具体包括随机响应分析、随机稳定性和可靠性分析。随机响应分析是随机动力学的基本问题,旨在寻求随机激励下系统响应的预测技术,主要关注概率密度响应函数和响应的数字特征。利用理论和数值方法对非光滑随机系统的动力学响应问题进行分析具有重要的研究意义。学者们主要应用近似变换方式将非光滑系统转换为光滑系统,从而利用光滑系统的分析手段进行随机响应分析,取得了很多有效的成果[38-40]。但这种近似破坏了系统原有的非光滑特性,特别是在利用很多光滑理论分析手段的同时,限制了系统部分参数的适用范围,并不符合实际应用。相比于解析方法,数值方法计算响应更为方便,更符合实际工程的需求。因此,有必要提出和改进新的数值分析框架和方法,来研究非光滑随机系统的复杂动力学行为。
图1-1 在轨捕获非合作目标过程
综上所述,通过对有随机激励的非光滑系统的研究,可以更加深入地认识系统的非光滑本质。由于这类系统的复杂性,关于这方面的研究一直是新颖而又富有创新挑战性的课题,同时又具有很强的现实意义。
本书的具体内容安排如下:
第1章为绪论,概述工程中存在的非光滑现象和随机激励,阐明了非光滑随机动力学的研究意义和研究价值。
第2章介绍非光滑因素的主要类型和基本概念,分析几类非光滑因素的发展和研究现状。进一步论述随机动力学分析的主要方法和手段,讨论目前求解包括非光滑振子随机响应存在的问题,提出本书的研究目的。
第3章运用广义胞映射(generalized cell mapping,GCM)方法研究噪声激励下结构中存在的摩擦振子瞬态概率密度响应和稳态概率密度响应。在没有近似变换的基础上,通过建立离散状态空间,构建一步转移概率,得到系统在任意次转移时间后的瞬态响应和稳态响应。分别利用Coulomb摩擦模型和Dahl摩擦模型分析系统参数变化对概率密度响应的影响,讨论参数诱导下出现的随机P分岔现象。通过与蒙特卡洛(Monte Carlo,MC)模拟结果的对比,说明GCM方法的准确性和计算时间的高效性。
第4章研究随机噪声扰动下弹性碰撞振子的稳态概率密度响应。结合GCM方法,针对外部谐和激励和随机激励共同作用的弹性碰撞系统,提出将时间变量?t?视为状态变量,在不改变非光滑特性的基础上,利用GCM思路研究系统的稳态概率密度响应。根据对应的确定性系统全局特性图像,分析参数小范围变化时,系统随机P分岔与吸引子、混沌鞍之间的关联。
第5章针对强非光滑性的单边和双边刚性碰撞振子,提出计算稳态概率密度响应的新方法。在不利用非光滑变换的前提下,为了保证状态空间的连续性,基于GCM理论,对于单边刚性碰撞,提出了在单边接触面上划分胞状态空间,构建了从接触面出发再次回到接触面的一步转移时长,并以此来建立一步转移概率矩阵,从而利用马尔可夫理论得到接触面上的瞬态响应和稳态响应。结合该方法,分别利用高斯白噪声和泊松白噪声激励下的两个单边刚性碰撞振子验证了方法的可行性和高效性。对于双边碰撞,利用双边接触面,构建一个从一侧接触面出发,直到再次回到该接触面的完整映射过程作为一步转移过程,提出在一侧接触面建立离散状态空间,根据马尔可夫理论,可以得到任意次映射过程后在接触面上的随机响应。利用双边刚性碰撞振子,分别考虑了样本轨迹从左右两侧接触面出发得到的响应、不同接触距离、不同噪声类型和不同恢复系数下方法的有效性。
第6章以专题的形式分析几个非光滑振子的随机动力学特性。其中,专题一以飞行器机电结构中的Rayleigh-Duffing振子为例,考虑其同时受到Coulomb摩擦力和弹性碰撞的作用。利用第3章和第4章提出的摩擦系统和弹性系统响应计算方法,分别考虑自治系统和非自治系统的情形,研究非线性参数和谐和激励振幅对系统稳态响应的影响,分析Coulomb摩擦力和弹性碰撞对系统稳定态的作用机理,发现了系统存在的随机P分岔现象。专题二介绍一个三维液压安全阀单边碰撞模型,利用第5章提出的GCM单边刚性碰撞随机响应求解新方法,研究三维碰撞振动系统在高斯白噪声激励下的概率密度函数响应。同样,将该方法与MC模拟结果进行分析比较,证明该方法具有广泛的适用性。通过对系统参数的改变,发现该三维液压安全阀系统存在的复杂随机动力学行为。*后,专题三以飞行器上的一个含双边碰撞压电能量采集装置为例。利用第4章和第5章提出的弹性碰撞和双边刚性碰撞响应计算方法,分别分析弹性碰撞和刚性碰撞情况下部分系统参数对速度、位移和输出电压概率密度响应的演化影响,发现部分参数可能会诱导系统出现随机P分岔现象,同样进一步地验证前文所提出的方法具有广泛的适用性和可行性。
第2章 非光滑随机动力系统
2.1 引言
前文已经介绍,非光滑动力系统广泛地存在于自然生活和实际工程中。在随机因素的影响下,非光滑随机动力系统会产生复杂的动力学行为,研究这些动力学行为可以更加深入地了解非光滑因素和随机因素对于系统的作用机理,有助于解决实际工程问题。本章*先介绍以摩擦和碰撞为代表的非光滑动力系统的基本概念和研究方法,详细阐述非光滑动力系统的研究发展历程。其次介绍随机动力学的一些基本概念,包括随机变量、随机过程、随机响应和随机分岔等内容,以及常见随机噪声激励的模拟过程。*后介绍本书使用的GCM方法基本实现过程,为后文的具体分析提供一定的理论基础。
2.2 非光滑动力系统的基本概念和研究方法
不同的非光滑因素会产生不同类型的非光滑动力系统,常见的类型有摩擦系统和接触碰撞系统。摩擦系统将摩擦力考虑成一个变量函数,即考虑质量块与接触面相对滑动时存在的黏着现象,此时的摩擦力便不再是常量[1]。对于接触碰撞系统,由于接触面的存在,振动系统会在一定时间内与接触面发生碰撞。依据接触面的特性,可以将这类系统分为弹性碰撞系统和刚性碰撞系统。弹性碰撞系统是指接触面具有弹性特征,因此这类系统会考虑碰撞过程中的形变时间,并且在碰撞过程中并没有能量的损失。当碰撞过程是一个瞬时状态时,系统是刚性碰撞系统。接触面被视为刚性面,碰撞过程中会发生能量的损失,这种损失关系用碰撞前后的速度变化来描述,并且速度的损失程度与接触面的设计材料有关。摩擦系统和弹性碰撞系统的状态空间是连续的,但雅可比矩阵不连续,因此具有一定的非光滑特性。刚性碰撞系统的状态空间和雅可比矩阵都不连续,是非光滑特性*强的一类系统[2]。非光滑动力系统近年来受到国内外学者的广泛关注和研究,形成了一些非光滑动力系统的理论和方法。下面将主要对摩擦、弹性碰撞和刚性碰撞产生的几类非光滑系统进行介绍和分析。