《非线性轨道偏差演化理论及应用》主要介绍作者团队在太空目标轨道偏差演化领域的理论研究成果及应用。《非线性轨道偏差演化理论及应用》共14章，第1～8章主要介绍非线性轨道偏差演化方法，包括研究现状、基本理论、多项式混沌展开方法、状态转移张量法、微分代数方法、高斯混合模型、相对轨道偏差演化方法、轨道边值问题偏差映射方法。第9～14章介绍轨道偏差演化在太空态势感知系列任务中的应用问题求解方法，包括光学观测短弧关联与聚类方法、轨道机动检测方法、碰撞预警与规避方法、碎片云演化与撞击风险分析方法、小行星撞击预警方法、鲁棒交会轨道规划方法。

目录
“空天前沿技术丛书”序一
“空天前沿技术丛书”序二
序
前言
第1章 绪论1
1.1 轨道偏差演化分析问题描述2
1.1.1 典型偏差因素3
1.1.2 偏差演化问题5
1.2 太空态势感知中的偏差演化问题7
1.2.1 数据关联7
1.2.2 异常检测8
1.2.3 碰撞预警10
1.2.4 空间碎片环境分析12
1.2.5 传感器任务调度14
1.3 轨道偏差演化分析方法研究进展15
1.3.1 蒙特卡罗仿真16
1.3.2 线性方法16
1.3.3 非线性方法17
1.3.4 其他方法23
参考文献24
第2章 轨道偏差演化基本理论33
2.1 基本动力学模型33
2.1.1 坐标系定义及转换33
2.1.2 轨道动力学方程36
2.2 随机动力学基本理论37
2.2.1 概率论与随机过程37
2.2.2 高斯分布40
2.3 偏差演化基本方法42
2.3.1 蒙特卡罗仿真42
2.3.2 无迹变换方法43
2.3.3 概率密度函数单点映射的换元法44
参考文献45
第3章 多项式混沌展开方法46
3.1 多项式混沌展开基本理论46
3.1.1 正交多项式46
3.1.2 自适应正交多项式50
3.1.3 PCK方法51
3.1.4 留一法误差评估53
3.2 非干涉多项式混沌展开系数求解方法54
3.2.1 *小二乘回归方法55
3.2.2 *小角回归方法56
3.2.3 正交匹配追踪方法57
3.2.4 子空间追踪方法58
3.2.5 贝叶斯压缩感知方法59
3.3 干涉多项式混沌展开系数求解方法60
3.4 灵敏度估计62
3.5 算例分析65
3.5.1 非干涉PCE算例65
3.5.2 PCK算例71
3.5.3 干涉多项式混沌展开算例73
参考文献74
第4章 状态转移张量法76
4.1 绝对轨道状态转移张量76
4.1.1 轨道动力学方程76
4.1.2 无机动的状态转移张量77
4.1.3 脉冲机动下的状态转移张量80
4.2 基于状态转移张量的偏差演化分析82
4.2.1 统计矩分析82
4.2.2 脉冲机动下的分段预报方法85
4.2.3 脉冲机动下的连续预报方法86
4.3 算例分析88
4.3.1 问题配置88
4.3.2 状态转移张量精度对比89
4.3.3 分段偏差预报结果对比91
4.3.4 连续偏差预报结果对比94
参考文献97
第5章 微分代数方法98
5.1 微分代数理论98
5.1.1 函数空间及其代数98
5.1.2 *小微分代数结构1D199
5.1.3 微分代数结构nDv103
5.2 基于微分代数的高阶状态转移多项式105
5.2.1 非线性轨道高阶状态转移多项式105
5.2.2 轨道高阶状态转移多项式的时间维拓展107
5.3 基于高阶状态转移多项式的轨道偏差传播方法111
5.3.1 偏差分布密度变换111
5.3.2 偏差统计特征计算112
5.3.3 偏差样本点打靶仿真113
5.4 算例分析114
5.4.1 非线性轨道高阶状态转移多项式114
5.4.2 基于微分代数的概率密度变换116
5.4.3 基于微分代数的偏差统计矩传播118
参考文献119
第6章 高斯混合模型120
6.1 高斯混合模型基本原理120
6.1.1 不同分布间的距离测度121
6.1.2 不同分布间的似然函数123
6.2 一维随机变量概率密度函数的GMM分割125
6.2.1 一维正态分布分割125
6.2.2 一维均匀分布分割127
6.3 多维随机变量概率密度函数的GMM分割130
6.3.1 分割方向选取131
6.3.2 多维分割131
6.3.3 多维合并132
6.4 基于GMM的轨道偏差演化132
6.4.1 GMM-STT方法133
6.4.2 GMM-UT方法134
6.5 算例分析136
6.5.1 GMM-STT结果136
6.5.2 GMM-UT结果140
参考文献142
第7章 相对轨道偏差演化方法143
7.1 相对轨道运动问题描述143
7.1.1 相对轨道参数定义143
7.1.2 相对运动方程研究现状144
7.2 考虑J2摄动的解析非线性相对运动方程145
7.2.1 吻切相对轨道根数的非线性变换145
7.2.2 平均相对轨道根数的非线性预报151
7.2.3 相对运动状态转移张量153
7.2.4 方程的奇异情况分析154
7.2.5 方程精度仿真分析155
7.3 非线性相对轨道偏差的状态转移张量157
7.4 非线性相对轨道偏差演化分析159
7.4.1 自由相对运动时协方差分析159
7.4.2 从航天器脉冲机动时协方差分析160
7.4.3 主航天器脉冲机动时协方差分析164
7.4.4 非线性概率密度函数演化分析167
7.5 算例分析168
7.5.1 问题配置168
7.5.2 自由相对运动工况169
7.5.3 从航天器机动工况173
7.5.4 主航天器机动工况175
7.5.5 不同初始条件下的偏差演化对比178
7.5.6 结果讨论181
参考文献182
第8章 轨道边值问题偏差映射方法184
8.1 兰伯特问题求解方法184
8.1.1 拉格朗日转移时间方程184
8.1.2 基于普适变量的转移时间方程185
8.1.3 终端速度解算187
8.2 二体兰伯特问题偏差高阶映射188
8.2.1 兰伯特问题输入和输出的高阶展开188
8.2.2 微分代数的部分求逆法189
8.2.3 微分代数Householder方法190
8.3 摄动兰伯特问题偏差高阶映射192
8.3.1 摄动轨道动力学方程193
8.3.2 基于高阶映射的速度修正194
8.3.3 自适应同伦迭代求解器195
8.4 算例分析197
8.4.1 二体兰伯特问题高阶映射算例197
8.4.2 摄动兰伯特问题高阶映射算例201
8.4.3 边值问题高阶偏差映射在行星际转移中的应用204
参考文献208
第9章 太空目标编目短弧数据关联209
9.1 太空目标编目问题描述209
9.1.1 数据关联209
9.1.2 未关联数据处理210
9.2 基于容许域与偏差演化的短弧关联212
9.2.1 观测数据预处理212
9.2.2 容许域定义与计算215
9.2.3 基于偏差演化的弧段关联219
9.3 短弧聚类方法224
9.4 仿真分析226
参考文献230
第10章 太空目标轨道机动检测231
10.1 轨道机动检测问题描述231
10.2 基于逆向移动滑窗的历史机动检测方法233
10.2.1 基本理论234
10.2.2 自适应轨道机动检测模型236
10.2.3 机动检测窗口自适应改进239
10.2.4 算例分析243
10.3 基于偏差演化的机动轨道关联方法247
10.3.1 偏差数据获取248
10.3.2 基于正向偏差预报的轨道异常判断249
10.3.3 基于逆向偏差预报的异常轨道关联250
10.3.4 机动量估计251
10.3.5 算例分析251
10.4 基于神经网络的机动检测方法253
10.4.1 机动特征参数构建253
10.4.2 神经网络训练样本构建255
10.4.3 算例分析257
参考文献259
第11章 太空目标碰撞预警与规避261
11.1 接近分析方法262
11.1.1 问题描述262
11.1.2 接近分析数值法263
11.1.3 基于接近分析的碰撞预警268
11.1.4 仿真分析269
11.2 高斯分布偏差碰撞概率计算270
11.2.1 问题描述271
11.2.2 短期相遇碰撞概率272
11.2.3 仿真分析276
11.3 非高斯分布偏差碰撞概率计算283
11.3.1 问题描述283
11.3.2 数值方法285
11.3.3 解析方法286
11.3.4 仿真分析287
11.4 碰撞规避方法291
11.4.1 问题描述292
11.4.2 避撞机动优化一般模型292
11.4.3 考虑工程约束的避撞机动优化模型293
11.4.4 仿真分析296
参考文献297
第12章 解体碎片云撞击风险分析299
12.1 问题概述299
12.2 解体碎片云密度分布计算300
12.2.1 碎片云的密度描述300
12.2.2 基于换元法的密度变换301
12.2.3 基于狄拉克函数的密度变换301
12.2.4 状态转移矩阵308
12.3 解体碎片云撞击态势模型310
12.3.1 碎片入射通量310
12.3.2 碎片云对航天器的撞击率311
12.3.3 碎片云对航天器累积撞击次数312
12.3.4 碎片云对航天器的碰撞概率312
12.4 算例分析314
12.4.1 密度与通量验证314
12.4.2 国际空间站受撞击态势算例分析315
参考文献323
第13章 小行星轨道偏差演化与撞击预警324
13.1 小行星撞击风险分析研究现状324
13.1.1 撞击概率计算研究324
13.1.2 撞击风险预警系统建设325
13.2 小行星撞击预警基础理论325
13.2.1 小行星轨道运动方程325
13.2.2 小行星飞行轨道摄动项分析326
13.2.3 小行星撞击概率计算基本理论328
13.3 小行星轨道偏差演化方法331
13.3.1 轨道偏差演化问题331
13.3.2 基于状态转移张量的偏差演化方法331
13.3.3 算例分析334
13.4 小行星撞击概率计算方法337
13.4.1 撞击概率计算问题描述337
13.4.2 基于蒙特卡罗方法的撞击概率计算338
13.4.3 基于高斯混合模型的撞击概率计算339
13.4.4 算例分析340
参考文献346
第14章 考虑偏差影响的鲁棒交会轨道规划348
14.1 鲁棒交会轨道规划问题348
14.2 鲁棒性评价指标设计351
14.2.1 鲁棒性评价指标定义351
14.2.2 鲁棒性评价指标计算354
14.3 鲁棒*优交会规划模型355
14.3.1 优化变量355
14.3.2 目标函数357
14.3.3 约束条件360
14.3.4 规划模型总结360
14.4 算例分析361
14.4.1 问题配置361
14.4.2 多目标Pareto前沿解对比362<

第1章 绪论
　　太空目标(或称空间目标)泛指在地球外层空间运行的所有人造物体，包括人造地球卫星、空间站、宇宙飞船、航天飞机，以及由它们或它们的废弃物产生的空间碎片[1]。空间碎片，又称轨道碎片，是指位于地球轨道或再入稠密大气层的、所有失效的，并且无法继续保有或恢复其原定功能的人造物体及其零部件[1]。随着人类航天事业的不断发展和在太空中的活动日趋频繁，在轨空间目标的数量不断增多。截至2023年6月，可被美国太空监视网络(space surveillance network， SSN)追踪的直径大于10cm的在轨目标有25000多颗，其中74%的目标是空间碎片。随着空间轨道环境日益拥挤，太空目标间发生碰撞的风险明显增加，对太空资产的正常运行、近地空间环境的可持续利用构成严重威胁，因此围绕太空目标的监视跟踪、碰撞预警、轨道异常检测等太空态势感知(space situational awareness， SSA)任务尤为重要。
　　太空态势感知是指以保护太空资产为目的而对近地空间在轨目标进行监视、识别、预测和威胁评估的能力。太空态势感知通过多源观测数据来跟踪、识别在轨目标，以便对近地空间环境形成综合的信息掌控。美国国防部(Department of Defense， DoD)发布的文件将太空态势感知自2011年以后的主要职能分为四个部分[2]。
　　(1)侦查、跟踪、识别，即发现和编目空间目标。
　　(2)特征描述，即判别特定空间目标的意图。
　　(3)威胁评估与预警，即对空间目标的威胁程度进行评估，并对潜在的敌对接近与碰撞进行预警。
　　(4)信息融合与挖掘，即综合多种可用数据资源，并从中挖掘新信息。
　　太空态势感知的基础功能任务包括接近分析与碰撞预警、传感器管理与调度、观测弧段数据关联与编目保持、轨道异常事件检测等[3]。由于观测数据总是存在偏差，描述太空目标轨道运动的动力学方程也未达到绝对精确，太空目标在轨飞行的真实状态永远未知，只能通过观测数据估计确定轨道。由于各种误差因素的影响，定轨结果也不可避免地存在偏差，因此实施上述空间态势感知基础功能任务的一个共同需求是在太空目标跟踪编目和预测分析中准确有效地表征轨道偏差。
　　与观测跟踪地面车辆、航空飞机、导弹等目标相比，由于需要跟踪的太空目标数量远远多于观测资源数量，观测与追踪在轨空间目标面临数据稀缺等问题。因此，经常需要在没有观测数据更新的情况下，采用还在持续发展完善的轨道动力学模型对空间目标的轨道状态及其偏差进行多圈，甚至多天的长时间预报。尽管航天器的状态在某一时刻(如定轨结束时刻)服从椭球形状的高斯分布，但在非线性轨道动力系统中传播一段时间后，将变为非椭球形状的非高斯分布。因此，与数据充足环境下采用高斯分布的均值与协方差矩阵描述偏差分布特性不同，在数据稀缺的太空目标跟踪与预测问题中，需要采用偏差概率密度函数(probability density function， PDF)或高阶统计矩更加完整地描述太空目标轨道偏差分布情况。这对偏差因素多、非线性强、维度相对较高的轨道动力系统是一个挑战性难题。
　　如果不能正确表征、演化(预报)太空目标的轨道偏差，将产生更多错误决策。例如，碰撞预警中出现漏警和虚警，将与特定目标相关的观测弧段判定为不相关，低效分配与调度有限的传感器资源，无法检测出特定目标是否执行了机动控制等。随着空间目标的急剧增加与观测设备(如由S波段雷达组成的电磁篱笆、光电传感器等)的不断改进，被观测到的在轨空间目标将越来越多。因此，为了有效感知太空态势并保护太空资产，需要一个自动化的系统来跟踪和识别不断增加的空间目标。显然，该自动化系统需要基于大量观测数据的统计信息进行决策(编目、碰撞预警等)。由于观测数据不可避免地存在偏差，因此需要轨道估计算法准确预报与评估这些偏差因素的影响，以支撑太空态势感知系列任务。本书将详细讲解航天动力学领域典型的轨道偏差演化分析方法，并围绕典型的太空态势感知基础功能任务介绍其应用。
　　1.1 轨道偏差演化分析问题描述
　　关于不确定性或偏差表征问题的研究是一个活跃的领域，叫做不确定性量化(uncertainty quantification， UQ)，涉及模型验证、模型确认、偏差分析、敏感性分析等研究主题[4]。为了正确有效地表征太空目标相关的各种偏差或不确定性，需要了解以下研究问题。
　　(1)模型验证。用于确定以多大的精度求解所使用的模型公式或感兴趣的量。
　　(2)模型确认。用于确定以多大近似程度的模型描述所关注的真实世界对象是足够精确的。
　　(3)偏差分析。用于确定与研究对象相关的误差或不确定性因素，并正确量化表征与预测这些因素。
　　(4)敏感性分析。用于量化分析所关注的输入参数对输出参数的影响程度，识别哪些输入参数是影响系统响应的主导因素。偏差或不确定性分析面向识别与表征给定系统的所有输出偏差，而敏感性分析重点关注主导因素。敏感性分析不需要真实设备中的输入偏差，可以通过纯数学模型进行敏感性分析，识别大部分偏差因素。对系统输出影响较小的偏差，没必要作为下一阶段的重要因素进行考虑。
　　1.1.1 典型偏差因素
　　偏差因素或不确定参数一般划分为随机型、认知型、混合型三类。随机型偏差是指系统物理变量或环境参数中天然带有随机性的量，是不可避免和消除的，一般通过统计参数描述其分布特性。离散变量的随机性通过每次随机事件发生的概率进行参数化表征。连续变量的随机性通过概率密度函数表征。认知型偏差是由数据或对真实系统知识的认识有限造成的。认知型偏差可通过对系统认识或数据的增加而减少。在太空态势感知相关任务中，主要考虑以下偏差因素。
　　(1)模型偏差。这是由作用在太空目标上的力模型知识的缺乏或不完善而引入的误差，如大气阻力摄动模型、太阳光压力摄动模型等。虽然已有多种可选模型，但是仍未做到足够精确，因此存在模型偏差。此外，还包括作用在航天器上的轨道机动引起的偏差。
　　(2)参数偏差。这是由模型参数或空间环境相关参数的不确定性引起的偏差，如大气模型中阻力系数偏差、大气密度偏差、描述太阳活动的F10.7参数偏差等。
　　(3)传感器测量偏差。传感器测量偏差又叫观测误差，存在于对太空目标的观测方程，一般由观测传感器的测量噪声引起。
　　(4)算法偏差。这是由算法模型及数值逼近引入的误差，如轨道预报模型的截断误差、计算机浮点运算的舍入误差、轨道确定问题中病态条件引起的误差等。
　　(5)误匹配偏差。这是由近距离编队/集群目标、解体碎片云、绳系卫星系统等测轨数据的误关联、误识别等引起的误差。
　　(6)软硬件故障。这是由硬件设备、软件等故障引起的偏差。
　　具体地，对用质点目标建模的不确定性轨道力学问题，偏差因素主要来源于对太空目标的动力学建模和测量建模。太空目标在太空中飞行会受到地球中心引力、主动控制力和各种摄动力的作用[5]。一般而言，航天器的受力情况很难用数学模型精确描述，因此会产生模型误差。此外，航天器运行在轨道上，其真实的状态是不为人知的，只能通过地面和星上的测量设备对其进行观测估计。在观测过程中，各种噪声的存在也会产生误差。轨道力学中的偏差因素与具体的目标及其所处的环境息息相关(如航天器外形、姿态、轨道高度、测量系统等)。各种偏差也相互影响，很难将其进行*立归类。例如，计算引力场模型参数需要用到大量测量数据，这些测量误差植入引力模型后又表现为模型误差。由于研究偏差传播时并不关心其产生过程，我们仅将其作为输入。为描述方便，根据Fehse[6]、唐国金等[7]的论述，本书将轨道力学中的偏差因素大致分为模型误差、导航误差与控制误差，如图1.1所示。
　　图1.1 轨道力学中的偏差因素
　　1. 模型误差
　　模型误差是指使用的标称模型参数与真实模型参数之间的偏差，如中心天体引力常数、非球形引力摄动系数、大气密度等。由于小天体的形状不规则，目前可用的小天体引力场模型还存在一定的误差。对大行星，特别是地球，其引力模型已经相对精确。对近地轨道，不确定因素主要是大气密度。根据指数模型[5]，地心距为r处的大气密度ρ可表示为
　　(1.1)
　　其中，为航天器实际轨道高度，Re为地球平均赤道半径；、、为参考大气密度、参考轨道高度、距离无量纲化参数[5]。
　　记标称的大气密度为，则考虑误差的真实大气密度ρ可表示为
　　(1.2)
　　其中，为大气密度模型误差的随机样本。
　　2. 导航误差
　　导航误差是指采用观测系统估计的航天器运动状态(位置、速度、姿态角、姿态角速度)与航天器真实运动状态之间的偏差。初始的导航误差在动力学模型和轨道机动控制影响下会逐渐放大。记通过定轨或轨道预报获得的航天器标称运动状态为，则考虑导航误差的航天器真实运动状态可表示为
　　(1.3)
　　其中，为导航误差的随机样本。
　　3. 控制误差
　　控制误差是指航天器执行机构(推力器、陀螺仪等)实际产生的控制量与期望其产生的控制量之间的偏差。控制误差的大小一般与控制量的大小成正比。例如，对脉冲变轨模型，记标称变轨冲量为，i = 1， 2， ， m，m为脉冲机动次数，则考虑控制误差的真实变轨冲量可表示为
　　(1.4)
　　其中，|? ?|表示对矢量每个分量取绝对值；为控制误差的随机样本；为控制误差标准差；α、β为控制误差标准差建模的常值系数。
　　1.1.2 偏差演化问题
　　在不确定性量化研究中，主要考虑两类问题，一是正向偏差演化/预报问题，二是逆向偏差评估问题(模型、参数反演评估等)。
　　(1)正向偏差演化/预报问题。主要用于根据初始时刻系统状态、模型、参数的不确定性，预测确定其终端状态、模型、参数的不确定性。该不确定性的统计特征一般通过概率密度函数描述。
　　(2)逆向偏差评估问题。主要通过一系列给定的测量数据或计算机仿真数据，估计真实模型和数学物理模型之间的差异，或者模型中未知参数的取值，或者系统状态与状态偏差信息(如轨道确定过程)。
　　本书主要关注正向偏差演化方法及相关应用。在不确定性量化问题中，要完全确定一个随机变量的分布特征，需要知道其概率密度函数(或分布函数)。因此，正向轨道偏差演化分析问题可描述为，给定太空目标初始状态的分布情况(一般用概率密度函数表示)，求任意时刻航天器状态的分布情况，即概率密度函数。为了得到偏差经随机动力系统演化后的完整分布特性，需要求解Fokker-Planck方程(Fokker-Planck equation， FPE)[8]，或无过程噪声作用下的随机Liouville方程(stochastic Liouville equation， SLE)[9]，以获得该偏差任意时刻的概率密度函数。FPE或SLE一般很难直接求解，特别是对高维的轨道偏差(6维或以上)传播问题。因此，理论上对偏差演化的研究大都是在寻找尽可能高精度逼近其真实分布的近似方法。很多对轨道偏差演化分析的研究都是基于偏差的高斯分布假设和动力系统的线性化假设对问题进行简化，从而方便求解。
　　对服从高斯分布的偏差，其概率密度函数可由其前两阶矩完全确定，且高斯分布经线性或线性化的动力学方程传播后仍然为高斯分布。因此，在线性假设下，仅对其均值和协方差矩阵进行预报就可以得到高斯分布偏差任意时刻的概率密度函数。将动力学方程线性化，可得高斯分布偏差均值和协方差矩阵的传播公式，即
　　(1.5)
　　其中，为状态量的一阶状态转移矩阵(state transition matrix， STM)，可沿参考轨迹积分如下微分方程获得，即
　　(1.6)
　　现实生活中的很多偏差因素都可以用高斯分布描述，因此对初始偏差作高斯分布假设是相对合理的。然而，高斯分布通过非线性系统后，极可能