《信号广义采样与动态重构》对信号广义采样与动态重构的基本理论和算法进行探讨和设计，内容包括基于投影逼近的信号广义采样与重构理论、基于自适应滤波的信号动态重构算法和基于自适应广义滤波的信号动态重构算法等。

目录
第1章 概论 1
1.1 引言 1
1.2 信号采样与广义采样 1
1.2.1 信号采样与理想采样 2
1.2.2 信号广义采样 5
1.3 信号重构与动态重构 13
1.3.1 信号重构中的基本优化准则 14
1.3.2 信号动态重构问题 21
1.4 本章小结 22
第2章 信号的希尔伯特空间理论 23
2.1 引言 23
2.2 信号集与常用信号集 23
2.2.1 余弦信号集 23
2.2.2 周期信号集 24
2.2.3 能量有限信号集 24
2.2.4 带宽有限信号集（带限信号集） 25
2.2.5 持续期有限信号集（时限信号集） 25
2.2.6 复信号集与正交信号集 25
2.3 希尔伯特空间与再生核希尔伯特空间 25
2.3.1 希尔伯特空间的定义 26
2.3.2 投影定理 28
2.3.3 再生核希尔伯特空间 29
2.4 希尔伯特空间中的线性算子与投影算子 30
2.4.1 希尔伯特空间中的线性泛函与线性算子 30
2.4.2 希尔伯特空间中的投影算子 32
2.5 希尔伯特空间中的框架与算子广义逆 34
2.5.1 希尔伯特空间中的框架 34
2.5.2 希尔伯特空间中的线性算子广义逆 37
2.5.3 框架与算子广义逆的关系 39
2.6 本章小结 40
第3章 信号广义采样与重构：投影逼近法 41
3.1 引言 41
3.2 正投影逼近及对应广义滤波 41
3.2.1 确定性问题中的*优泛化逼近准则及正投影约束解 41
3.2.2 随机性问题中的*优泛化逼近准则及正投影约束解 45
3.2.3 投影逼近的偏投影推广 50
3.3 斜投影逼近及对应广义滤波 51
3.3.1 S-L投影逼近准则和形式 52
3.3.2 S-L投影滤波的等价形式和统一形式 53
3.3.3 偏斜投影滤波 58
3.4 信号多通道采样与重构 64
3.5 本章小结 69
第4章 信号动态重构I：自适应滤波 70
4.1 引言 70
4.2 自适应滤波的基本类型与典型结构 70
4.2.1 自适应滤波的基本类型 71
4.2.2 自适应滤波的典型结构 74
4.3 **自适应算法 83
4.3.1 基于MMSE准则的自适应算法 83
4.3.2 基于LS准则的自适应算法 97
4.4 本章小结 100
第5章 信号动态重构Ⅱ：自适应广义滤波 101
5.1 引言 101
5.2 典型非线性滤波与BP算法 101
5.2.1 神经元与神经网络模型 101
5.2.2 神经网络的自适应训练：BP算法 103
5.3 *优泛化动态重构：自适应广义滤波 107
5.3.1 自适应参数化投影滤波 107
5.3.2 自适应偏投影滤波与自适应偏斜投影滤波 110
5.3.3 多通道采样下的信号动态重构 120
5.4 本章小结 128
参考文献 129

第1章概论
　　1.1 引言
　　信息科学（informationscience）是研究信息存储、传输、处理等基础理论（即信息论）和开发信息搜集、组织、存储、检索、解译、应用等基本技术[即信息技术（information technology，IT）]及装置的科学领域，涉及数学、图书馆学、计算机科学与工程、语言学、心理学等学科[1]，是信息社会有效运行的基石[2]。
　　概而言之，信息又称消息（message），是相对于物质而言但其自身又非物质的一种客观存在，是客观事物运动状态及其变化、相互联系及相互作用的反映和表征。信息不能脱离其载体而*立存在，基本载体就是信号（signal）。例如，语义信息的载体是语音、语言、文字、字符等信号，而视觉场景信息（视觉对象及其与背景之间相互关系）的载体是图像、视频等信号，等等。
　　信息论（information theory）旨在借助数学工具研究信息存储、传输、处理中的基本理论问题[3]，这些问题*早来源于电报和电话的诞生和应用[3-9]。由于信号是信息的基本载体，只有通过信号才能承载和提取信息，所以解决信号之传输、存储、处理等问题是解决信息之对应问题的前提和基本途径。同时，客观环境中存在各种干扰和噪声，携带信息源（简称信源）信息的信号在传输、存储、处理过程中无法避免失真，使得受信端（简称信宿）难以准确地恢复（重构）原始信号和提取信源信息。为有效解决该问题，需要对信源、传输通道（简称信道）进行编码，减小信源信息的冗余度、提升信道的容错能力[3，7-9]。编码的前提是数字化，它包括采样和量化两个过程。所以，信号采样与重构问题是信息论*基本的问题之一。
　　本章在对信号采样与重构的基本概念及其研发简况进行概括介绍的基础上，重点对信号广义采样与动态重构的基本问题进行综述。
　　1.2 信号采样与广义采样
　　信号广义采样是信号采样（通常称为理想采样）的推广。本节主要对信号采样的基本概念、理想采样及其局限、广义采样等基本问题进行概述。
　　1.2.1信号采样与理想采样
　　1.信号采样
　　信号是物理量的变化形式，其大小（即强弱）随时间、空间或其他参量的变化而变化。自然界中的信号通常是一个多变量的连续函数（称为模拟信号），例如音频信号是音强（即系统的机械振动强度）随时间和频率而变化的连续函数，而视频信号是电磁场强度随时间、频率和空间的变化而连续变化的函数[10]。在信号分析研究中主要强调其强度随时间的变化，因而通常只讨论自变量是时间的情况，但基本思想、方法和结论很容易扩展到自变量是频率、空间等其他变量的情况[11]。
　　信号采样就是对其自变量进行离散化的过程，而离散化结果是否会丢失其携带信息及以多大程度丢失这一信息的问题，是信号采样的根本问题。换言之，利用离散化结果能否精确重构原信号或以多大精度重构原信号，是信号采样的核心问题。这一问题的解决依赖于两个方面：被采样信号的特点和采样的方式。
　　2.理想采样
　　简而言之，理想采样是指对变化剧烈程度较低的信号足够密集地离散化，且利用离散化结果能精确重构原信号的等间隔采样，其有关概念和基本定理简介如下。
　　1）信号的带宽与低通信号
　　信号变化的剧烈程度用信号带宽来刻画。由于自然界可以有多种不同的机理产生具有同样波形的信号，在信号分析中了解信号源的物理状况和物理机制通常是必要的，其中频谱分析是*有力的工具之一。由于波通过媒质传播的特性与频率有关，如光能穿过玻璃而不能穿过铝片、X射线能穿过铝片而不能穿过玻璃，其根本原因就是频率的差别。所以，基于傅里叶变换的信号频率域分析是信号分析的一个基本工具，而带宽是在频域表征信号时*常用的一个基本特征量[11]。
　　对于定义在实数域R上之平方可积函数空间L2(R)中的能量有限信号s(t)，其能量定义为[11]
　　（1.1）
　　其中，为复数取共轭；除需要明确给定的情况外，积分限一般默认为从–∞到∞。
　　频域分析就是用复指数函数系（其中=2f为角频率，单位为rad/s，对应频率f的单位为Hz）来表示能量有限信号，即用傅里叶积分将s(t)表示为
　　（1.2）
　　这就是信号s(t)的傅里叶展开（或傅里叶逆变换，记为），其中的展开系数
　　（1.3）
　　就是信号s(t)的傅里叶变换，记为。
　　简而言之，信号s(t)的带宽就是其傅里叶变换结果S()的有效范围（又称为支撑区间），具体可以分为绝对带宽、有效带宽（等效带宽）和相对带宽三种基本类型。
　　（1）绝对带宽与低通信号
　　若存在c=2fc>0，当>c时|S()|=0，则称2c为s(t)的绝对带宽，而这时的s(t)称为截止频率（cut-offfrequency）为c的低通信号，特记为sc(t)。
　　（2）有效带宽与相对带宽
　　对于一般信号s(t)而言，若定义其中心频率为[11]
　　（1.4）
　　并记
　　（1.5）
　　则s(t)的有效带宽和相对带宽分别定义为2s和2s/0。所以，有效带宽是信号频谱在均方根意义下的有效范围（故又称为均方根带宽），而相对带宽是相对于中心频率而言信号频谱的有效范围。
　　2）采样率与奈奎斯特采样率
　　采样的密集程度用采样率（即采样快慢）来刻画，通常用频率fs（或角频率s=2fs）表示。信号采样时，采样率过低会损失信号携带的信息，反之则因保留过多的冗余信息而不利于信息的有效传输、存储和处理，其中的临界值称为奈奎斯特（Nyquist）采样率[4]，而将采样率低于、高于和等于奈奎斯特采样率的采样分别称为欠采样、过采样和临界采样，其中的临界采样又称为奈奎斯特采样。奈奎斯特采样率的具体数值取决于被采样信号的带宽。例如，对截止频率为c的低通信号sc(t)而言，奈奎斯特采样率为2c[4，8]。
　　3）理想采样定理
　　对于截止频率为c的低通信号sc(t)而言，解决信号采样核心问题的基本理论为理想采样定理。该定理虽然是直接在基于电报、电话等手段实现信息传输的问题研究中由科捷利尼科夫（Kotelnikov）[6]、香农（Shannon）[8]、染谷（Someya）[9]等学者先后提出的，但在数学领域其基本条件和结论则更早出现于函数插值理论中[12]，尤其是以惠特克（Whittaker）父子为代表的“基数函数”插值理论中[13-15]。
　　理想采样定理可简述为[10]：在采样间隔t=1/fs足够小（t≤/c）或采样频率s足够高（s2t≥2c）的条件下对sc(t)的自变量t进行等间隔离散化（即以t为周期进行均匀采样），就可用离散化结果[即序列y(l)=sc(t)|t=lt，l∈Z，Z为整数集]精确重构sc(t)。这就是著名的采样定理，而s=2c就是奈奎斯特采样率。
　　信号理想采样与精确重构示意如图1.1所示[10]。
　　图1.1信号理想采样与精确重构示意图[10]
　　信号理想采样与精确重构对应的数学形式为[10，16]
　　（1.6）
　　其中，除需要明确给定的情况外，求和范围一般默认为从–∞到∞；(t)为单位冲击函数：
　　（1.7）
　　（l∈Z）；(t)是重构滤波器的系统函数（系统的单位冲击响应），且对于临界采样（s=2c或t=/c）而言，有[6，8，9]
　　（1.8）
　　式中sinc函数定义为
　　（1.9）
　　而对于过采样（s>2c或t　　（1.10）
　　由于式（1.6）所对应信号重构中的求和形式正是sc(t)的基数级数展开式，所以理想采样在本质上就是用sinc函数集（l∈Z）对低通信号进行基数级数展开而获取展开系数的过程。这一定理可以直接推广到高维信号（即多元函数）情形[17-20]。
　　理想采样的理想性主要体现为：
　　（1）被采样信号sc(t)是*高频率为c的理想低通信号；
　　（2）采样脉冲(t)是无宽度的理想脉冲；
　　（3）采样间隔t足够小（t≤c），而且是等间隔采样（均匀采样）；
　　（4）被采样信号sc(t)中不存在且在采样过程中也不引入任何干扰和噪声；
　　（5）重构滤波器的系统函数(t)是截止频率为c或t的理想低通信号，即重构系统(t)是满足如下条件的理想低通滤波器：
　　（1.11）
　　或等价地
　　（1.12）
　　这些理想条件中若任何一个条件得不到满足的话，都无法用采样序列y(l)精确重构原信号sc(t)。所以，理想采样定理很少直接应用于解决实际问题，而在工程应用现实中的数字化器件（模/数转换器，analog/digital converter，简称ADC或A/D转换器）只能近似实现理想采样。
　　1.2.2信号广义采样
　　概而言之，广义采样是理想采样的扩展或推广。
　　早期的扩展和推广，包括将对低通信号的采样扩展为同时对低通信号本身及其积分变换或微分变换结果进行的采样[16，21-24]，将对低通信号的采样推广到对带通信号和时限信号（即非带限信号）的采样[25-29]，将对能量有限的确定性信号的采样推广到对能量无限的确定信号及随机信号的采样[18，30-34]，将对满足式（1.2）之傅里叶积分特征（频域支撑特征）的信号的采样推广到满足其他形式之广义积分特征（一般变换域内支撑特征）的信号的采样[35-38]，等等。文献[38]至文献[41]对此进行了全面细致的综述，但相关工作主要从数学理论角度展开，很少直面工程应用问题，尤其是信号分析处理和通信工程应用需要[42，43]。
　　后来得力于多分辨逼近和小波变换理论的发展[44-46]，理想采样被推广到小波空间[47-49]，进一步成为函数空间中便于技术实现的函数逼近问题[42，43，50，51]，其信号带宽限制、均匀采样（等间隔采样）限制、理想低通滤波重构限制等技术上难以实现的问题同时取得突破[42，43]，且广义采样被具体化为被采样信号与一般函数系（分析信号集）中元素的内积运算[10，51]。
　　本著作正是立足于函数空间（信号空间）理论，在建立函数逼近与逆问题求解框架的基础上讨论信号的采样与重构问题。为此，本小节在对含噪低通信号或非带限信号的抗混叠滤波与*优逼近进行简要介绍的基础上，讨论信号广义采样与重构中的基本问题，建立广义采样与重构中的函数逼近之逆问题求解框架。
　　1.抗混叠滤波与重构空间中函数的*优逼近
　　理想采样过程是信号频谱的周期平移过程[16]。因此，当被采样的低通信号中存在噪声或当被采样信号为非带限信号时，频谱及其周期平移成分会混叠在一起，无法利用采样结果精确重构原信号，为此需要对被采样信号进行预滤波—抗混叠滤波[8，52-56]。抗混叠滤波过程实际上就是用低通信号所属子空间中的信号去*优逼近被采样信号（含噪低通信号或非带限信号）的过程[43，51]。
　　1）采样与频谱的周期平移
　　从信息传输和频谱分析的角度看，理想采样过程就是将被采样信号sc(t)调制到脉冲串
　　（1.13）
　　上的过程，即[16]
　　（1.14）
　　称为脉幅调制（pulse amplitude modulation，PAM），而y(l)=y(t)|t=lt。由于按式（1.3）可得到式（1.13）之脉冲串p(t)的傅里叶变换为
　　（1.15）
　　因此，由式（1.14）两边取傅里叶变换并注意到fs1t，可得