《计算光学成像》介绍光学成像中的计算方法，包括傅里叶变换、菲涅耳衍射、相位恢复、柯林斯公式、强度传输方程、计算成像方法等，并介绍近年来关于计算光学成像技术领域的新成果，如叠层成像、傅里叶叠层成像、单次曝光成像、单像素成像、相干衍射成像、结构光照明成像、散射成像、超分辨成像等，侧重讲述计算光学成像方法的原理和数值计算方法。

目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 光学傅里叶变换 2
1.2 计算光学成像方法 4
1.3 相位恢复算法的发展与分类 5
参考文献 6
第2章 衍射建模与离散计算 7
2.1 菲涅耳衍射及其离散算法 7
2.2 分数傅里叶变换 9
2.3 线性正则变换 12
2.4 回旋器变换 14
2.5 哈特莱变换 16
2.6 特殊函数的计算 17
参考文献 19
第3章 相位恢复算法 21
3.1 GS相位恢复算法 21
3.2 HIO相位恢复算法 22
3.3 杨-顾算法 24
3.4 从单个强度图恢复相位 26
3.5 解卷积算法 27
3.5.1 盲解卷积 28
3.5.2 维纳解卷积 30
3.5.3 全变差方法 32
3.5.4 维格纳分布解卷积 37
3.5.5 正则化方法 38
3.6 相对熵*小化 41
3.7 散度模型 44
3.8 先验信息法 49
3.9 广义内反馈法 52
3.10 相位恢复算法 54
3.10.1 格林函数法 54
3.10.2 布龙尼科夫方法 57
3.10.3 滤波方法 61
3.10.4 对比传递函数 64
3.11 多图像相位恢复 65
3.11.1 串行计算模式 65
3.11.2 双层循环算法 66
3.11.3 并行计算模式 67
3.11.4 增广拉格朗日算法 68
3.11.5 多波长照明系统的相位恢复 71
3.11.6 稀疏正则化 72
参考文献 77
第4章 强度传输方程 79
4.1 傅里叶变换求解法 79
4.2 高阶导数法 83
4.3 萨维茨基-戈莱差分滤波法 84
4.4 强度传输方程的试探性解法 87
4.4.1 高斯-赛德尔迭代法 87
4.4.2 多项式展开法 89
4.4.3 拉东变换法 90
4.4.4 雅可比矩阵法 93
4.5 策尼克多项式解法 97
4.6 希尔伯特变换法 105
4.7 卷积算法 106
参考文献 109
第5章 叠层成像 110
5.1 典型叠层成像方法 110
5.2 改进叠层成像技术 112
5.2.1 扩展叠层成像 112
5.2.2 正则化叠层成像 112
5.2.3 一维叠层成像 113
5.3 并行计算方法 115
5.3.1 区域划分方案 115
5.3.2 共起点并行计算 117
5.4 采样约束条件 118
5.5 重叠约束误差 121
5.6 散斑照明法 122
5.7 三维叠层成像方法 130
5.8 超分辨叠层成像方法 133
5.9 位置校正方法 135
参考文献 137
第6章 傅里叶叠层成像 139
6.1 光学成像系统与原理 139
6.2 半球形光源照明 141
6.3 多波长照明法 143
6.4 维尔丁格流优化法 144
6.5 基于结构光照明的成像方法 146
6.5.1 散斑照明 147
6.5.2 条纹光束照明 148
6.5.3 虚拟结构调制 149
6.5.4 随机多路照明 152
6.5.5 双层LED照明 155
6.6 光学元件的位置校正方法 157
6.6.1 基于互相关法的位置误差校正 157
6.6.2 明场定位方法 159
6.6.3 照明角度校正 161
6.7 优化照明策略 165
6.7.1 稀疏照明 165
6.7.2 克拉默斯-克勒尼希关系 166
参考文献 168
第7章 单次曝光成像 170
7.1 全息系统的单次曝光成像 170
7.1.1 子空间处理 170
7.1.2 棋盘格相位光栅调制 173
7.1.3 孔径编码相关法 175
7.1.4 矩阵光学法 179
7.2 衍射成像系统的单次曝光成像 183
7.2.1 双波长照明 183
7.2.2 达曼光栅分光束照明 184
7.2.3 压缩条纹法 186
7.2.4 空间多路测量方法 187
7.3 叠层成像系统的单次曝光法 189
7.3.1 微透镜阵列 189
7.3.2 三基色照明 192
7.4 三维测量与成像系统的单次曝光法 195
7.4.1 虚相位共轭法 195
7.4.2 多孔调制 197
7.4.3 同轴条纹投影术 200
参考文献 203
第8章 单像素成像 204
8.1 单像素成像方法 204
8.1.1 单像素成像的光学系统与原理 204
8.1.2 单像素偏振成像 207
8.1.3 单像素压缩衍射成像 209
8.1.4 单像素相干衍射成像 211
8.1.5 无阴影单像素成像 212
8.1.6 近红外单像素成像 214
8.1.7 鬼成像系统 215
8.2 单像素成像系统的光学调制方案 216
8.2.1 时间相关单光子计数 216
8.2.2 光学涨落 218
8.2.3 高斯和空心光束联合照明 220
8.2.4 单纯形顶点采样 222
8.3 傅里叶单像素成像 226
8.3.1 傅里叶域正则化 226
8.3.2 离焦测量 228
参考文献 228
第9章 相干衍射成像 230
9.1 相干衍射成像的光学系统 230
9.1.1 变迹照明 230
9.1.2 随机振幅调制 231
9.1.3 动透镜测量 233
9.1.4 反射模型 233
9.1.5 全内反射暗场照明 235
9.1.6 数字全息方法 237
9.1.7 相干与非相干照明 239
9.1.8 单帧测量 240
9.2 衍射成像中的相位恢复算法 241
9.2.1 加权相位恢复 241
9.2.2 非迭代方法 243
9.2.3 傅里叶域约束 246
9.2.4 迭代分数傅里叶算法 247
9.3 X射线成像 248
9.3.1 菲涅耳衍射相衬成像 249
9.3.2 扩频调相 251
参考文献 254
第10章 结构光照明成像 256
10.1 结构光照明成像的原理 256
10.1.1 结构光照明显微系统 256
10.1.2 衍射相位显微系统 258
10.1.3 缪勒矩阵成像 259
10.1.4 随机传递函数 261
10.1.5 优化与表征方法 264
10.1.6 定量切片与噪声分析 267
10.2 结构光照明成像算法 270
10.2.1 联合重构策略 271
10.2.2 贝叶斯估计 273
10.2.3 计算结构光照明成像 275
10.3 扩展结构光照明方法 276
10.3.1 非线性结构光照明 276
10.3.2 饱和结构光照明 277
10.3.3 可编程结构光照明 278
10.3.4 微流控结构光照明 279
10.3.5 虚拟结构探测 280
参考文献 281
第11章 散射成像 282
11.1 散斑相关方法 282
11.1.1 深度分辨散斑相关 282
11.1.2 策尼克多项式滤波 283
11.1.3 视差模型 286
11.1.4 宽场荧光成像的分辨率增强 289
11.1.5 交替方向乘子法 290
11.1.6 非相干照明叠层成像 292
11.1.7 三维散斑相关 293
11.2 数学模型与算法 294
11.2.1 支持向量回归 294
11.2.2 聚焦反射矩阵法 296
11.2.3 散斑传递函数 301
11.2.4 散斑均值法 302
11.2.5 稀疏表示与相干散斑抑制 305
参考文献 308
第12章 超分辨成像 309
12.1 超分辨宽场成像方法 309
12.1.1 相干编码合成孔径 309
12.1.2 双折射傅里叶滤波 314
12.1.3 增强光折变效应 317
12.1.4 二阶优化正则化结构光照明 320
12.1.5 优化的超振荡光斑 323
12.2 鬼成像系统中的超分辨方法 327
12.2.1 基于傅里叶谱测量的超分辨鬼成像方法 327
12.2.2 光强反相关方法 329
12.3 特殊光学元件 330
12.3.1 全内反射镜 330
12.3.2 空间光调制器 332
参考文献 333
第13章 数字定位方法 335
13.1 数字散斑相关实现定位 335
13.1.1 数字图像相关与高温变形测量 335
13.1.2 二阶导数平均强度 336
13.1.3 散斑位移的频域算法 337
13.1.4 坐标变换法 339
13.2 光学元件的定位算法 342
13.2.1 马赫-曾德尔干涉仪 342
13.2.2 基于全息术的波前传感 344
13.2.3 金属液滴的定位与尺寸测量 346
13.2.4 检测光学涡旋位置的相关匹配法 348
13.2.5 纳米粒子位置测量 352
13.2.6 飞秒激光自动定位和直写 354
13.3 光学元件的角度定位 356
13.3.1 方位误差测算与补偿 356
13.3.2 显微物体的角位置确定 359
13.3.3 角位置与光学轨道角动量 360
参考文献 362
第14章 自动聚焦 364
14.1 全息系统的自动聚焦 364
14.1.1 暗场梯度法 364
14.1.2 本征值法 366
14.1.3 加速搜索法 367
14.1.4 协作执行法 371
14.1.5 *小偏差法 373
14.1.6 梯度算子法 375
14.1.7 基于稀疏性度量的重聚焦判据 377
14.1.8 振幅差分法 378
14.2 测量与成像系统的自动聚焦 379
14.2.1 三维轮廓测量系统的自动聚焦方法 379
14.2.2 用于叠层成像的自动聚焦方法 382
14.2.3 用于双光子光刻系统的自动聚焦方法 383
14.2.4 用于倾斜样品显微成像的自动聚焦方法 385
参考文献 389
第15章 降噪方法 391
15.1 全息系统的降噪方法 391
15.1.1 自适应各向异性扩散法 391
15.1.2 均值法 393
15.1.3 干涉条纹噪声抑制方法 395
15.1.4 自适应全变差法 398
15.1.5 降噪判据与方法 399
15.1.6 邻域滤波法 402
15.2 相干衍射成像系统的降噪方法 404
15.2.1 正交态对比度估计 404
15.2.2 低计数率下的噪声模型 407
15.2.3 具有重叠组稀疏性的全变差方法 413
15.3 鬼成像系统的降噪方法 417
15.3.1 内插值法 417
15.3.2 选择性计算鬼成像 419
15.3.3

第1章 绪论
　　作为光信息处理领域的一个重要研究方向，计算光学成像促进了光学测量和光学成像等方面的发展，而多种光信息处理系统也离不开计算机的参与，如信号恢复、成像、全息、视觉感知、光通信、光栅、散射、激光雷达等。数据记录因传感器、电荷耦合器件（charge coupled device，CCD）等离散型器件而得到向量型信号或矩阵形式的图像数据，相比于胶卷等记录介质，这些数据具有可重复记录、便于存储、传输和计算机处理等特点。不同成像系统由连续型（如透镜和棱镜等）或离散型（如空间光调制器或数字微镜器件等）光学元件构成，计算技术不断地对成像系统各环节进行渗透，逐步使光学系统“数字化”。目前衍射、傅里叶变换、离散余弦变换等已成为光学数据处理的重要工具。借助于计算程序和专业软件，可进行数值仿真，实现难以完成的光学实验，既节约成本又节省实验调试时间。例如，在计算机上完成实验数据处理，通过光电混合方式完成测量和成像任务。
　　计算光学成像是光学系统与计算技术相结合的间接成像方式，可使用衍射斑或投影图像计算目标的复振幅信息。相位恢复、强度传输方程、快速傅里叶变换等是计算光学成像技术的核心工具。通过逆问题求解算法计算光学线性系统的输入目标图像数据，可将光学成像系统建模为高维线性方程组。在很多情况下，目标需要使用复数表征，通过测量强度图案仅得到目标的强度，而相位分布需要在强度数据基础上间接获取，这令图像重建的计算任务变成求解欠完备线性方程组，使求解待测目标图像的精确解变得十分困难。在变参数计算光学成像系统中，通过改变光学元件物理参数可以获得同一待测目标的不同衍射斑或投影图，增加高维线性方程组的定解条件个数，经计算可得到复值目标图像。随着用于图像重建的记录图像数量增加，成像效果将会变好。
　　傅里叶变换是信号和图像处理领域的重要工具，也是光信息处理领域的理论工具。夫琅禾费衍射可由傅里叶变换计算，菲涅耳衍射的离散也可间接地由傅里叶变换计算。除直接用于计算外，傅里叶变换的性质对于光信息处理非常重要。例如，傅里叶变换的卷积性质在描述和计算光学成像系统时非常便捷；傅里叶变换的相关性质是目标识别和定位的重要理论基础；傅里叶变换的位移/相移性质是结构光照明超分辨成像的理论基础；傅里叶变换的导数性质在光束整形中是设计滤波器的基础；在运动图像去模糊中，傅里叶域的数据处理对理论分析和算法建模有重要帮助；等等。
　　1.1 光学傅里叶变换
　　在有限空间内，光学傅里叶变换系统由单透镜实现，沿光束照明方向的两个焦平面依次为变换输入面和输出面。该光学结构是光信息处理的基础。这方面有影响力的专著是Joseph W. Goodman（约瑟夫？W. 古德曼）教授撰写的“Introduction to Fourier Optics”（《傅里叶光学导论》），该书[1]详尽介绍了光学傅里叶变换的理论和应用。本章将简述傅里叶变换，作为后续章节的理论基础。
　　傅里叶变换的一维级数展开形式为
　　（1-1）
　　式中，j代表虚数单位；函数是厄米-高斯函数，其表达式为
　　（1-2）
　　式（1-2）是归一化的阶厄米-高斯函数。该函数是变换的本征函数，类似于线性代数中的本征向量。将函数展开为本征函数形式，即
　　（1-3）
　　（1-4）
　　在式（1-3）所示的本征函数情况下，傅里叶变换表现为穿透性。变换结果是在函数展开式中附加变换本征值作为因子，即。
　　傅里叶变换的二维积分式为
　　（1-5）
　　式中，和的含义是空间频率。在一些教材中傅里叶变换的积分式缺少，此时和的含义是相位空间变化率，对于时间而言是角速率。在式（1-5）中，输入函数与输出函数对调，负号变正号，该式就变为傅里叶逆变换的计算式。
　　在MATLAB软件中，fft和fft2可用于计算一维和二维快速离散傅里叶变换。函数fft2输出结果中的频谱坐标顺序需经过函数fftshift调整后，才能使频谱原点移至数据坐标索引中心处。
　　傅里叶变换的性质很多，且形式相对简单，这里列举其主要变换性质，如表1-1所示。表中是的傅里叶变换，是复数系数，符号*表示取复数共轭；卷积性质可用于计算离散卷积，相关运算能够在数字图像分析中实现目标识别和定位。
　　傅里叶变换的部分应用如图1-1所示。傅里叶变换支持菲涅耳衍射（角谱）、分数傅里叶变换、回旋器（gyrator）变换、柯林斯公式（线性正则变换）的离散计算。而柯林斯公式又被称为ABCD公式，是矩阵光学的基础，为复杂光学系统的数学建模提供理论支持。运动模糊可表示为傅里叶域的滤波形式，在此基础上可以开展测速和图像复原（去模糊）方面的研究。光学相关在目标识别方面有重要应用，同时它可用于具有刚体属性目标的位移计算。4f光学系统是光信息处理领域***的结构，可看成傅里叶变换的频域滤波操作。
　　图1-1 傅里叶变换的部分应用
　　傅里叶变换结果不包含信号的局域信息，维格纳（Wigner）分布函数可以给出空间-频率的联合表征。函数 的维格纳分布函数为
　　（1-6）
　　这个函数是升维表达，即以二维函数表达一维信号属性。维格纳分布函数*重要的性质是投影特性。该分布函数对和积分可得到：
　　（1-7）
　　（1-8）
　　即维格纳分布函数在空域坐标和频域坐标投影得到信号在空域和频域的能量密度函数。有时它也被称为准概率分布函数。
　　与该分布函数相近的一个函数是模糊函数（ambiguity function），定义为
　　（1-9）
　　这些函数与成像系统的非相干频率响应（或光学传递函数）有密切关联。
　　1.2 计算光学成像方法
　　普通光学显微成像系统可直接用于获取目标的数字化图像数据。然而，为了扩大视场和分辨率，我们不得不考虑一些间接测量方式，以获取更多的数据信息，增加光学成像系统的空间带宽积。在设计图像重构算法中离不开使用计算技术进行数据重组，实现高分辨、大视场图像重建。
　　计算机性能提升为计算光学成像技术的研究提供了必要的基础。利用算法重建目标图像，可突破普通光学显微镜的物理局限。计算光学成像方法可用于多种光学成像系统，以提高分辨率，如像素超分辨、合成孔径技术等。对于间接成像技术，多采集衍射图案。为了实现目标光场恢复，相位恢复技术是不可缺少的求解光学反问题的工具，它由强度数据溯源至相位分布，反演光场的复数波前数据信息。
　　光场多使用复数表示，光信息也是一种多维表示形式，如偏振、波长、自旋等物理量的测定。为了测量更多物理量，多次测量是必需的测量手段。这些测量任务和光学反问题有密切联系，诸如相位恢复、强度传输方程等计算工具将大有用武之地。表1-2中列出常见计算光学成像方法，这些方法会发挥重要作用，将衍射斑变成可视图像。这一技术涉及光学和计算技术的研究基础，受到众多光学和计算机领域的研究人员关注。
　　类似于图1-2中改变不同的光学元件姿态以产生不同投影图，变参数计算光学成像系统包括多次测量和图像重构两个环节。综上，这类技术通过算法综合多个非目标图案，从而达到更完美的成像效果。变参数计算光学成像技术赋予光学成像系统多样性，使测量方式变得非常奇妙。
　　图1-2 计算光学成像系统
　　1.3 相位恢复算法的发展与分类
　　相位恢复算法是求解光学衍射模型中光场信息的重要数学工具。针对衍射过程，迭代相位恢复算法*早是由Gerchberg等[2]提出的。后来众多学者提出不同版本的相位恢复算法，在计算速度方面有很大进步[3-6]。如图1-3所示，相位恢复算法已经应用于很多光信息处理系统中，推动了计算成像与计算测量的发展。在相位恢复发展方面，离不开众多数学方法的支持。
　　图1-3 相位恢复算法的应用与发展
　　对于光学反问题而言，相位恢复面临的是求解一个高维线性方程组。在很多情况下方程组是病态的，求解困难。使用迭代方法是避免计算逆矩阵的一种有效途径，而迭代计算往往需要耗费大量时间，限制了计算成像技术在一些快速成像方面的应用。