无线网络已经融入人们的日常生活，在无线网络应用中通常会针对不同的需求调优各种参数，这需要借助数学模型。《无线网络数学建模方法与应用》概述了概率论、随机过程等基础知识，从系统及建模视角阐述无线网络的数学建模问题，侧重于IEEE802.11无线局域网络、IEEE802.15.4无线传感器网络以及射频识别系统中数据传输、信道分配与接入、能量管理、反射通信等领域，针对遇到的实际问题，设计解决方案，建立数学模型，并对模型的参数进行优化。

目录
前言
第1章 系统与模型 1
1.1 系统 1
1.2 系统的模型 1
1.2.1 虚拟模型 2
1.2.2 概念模型 2
1.2.3 物理模型 3
1.2.4 数学模型 4
1.2.5 统计模型 5
1.2.6 模型与仿真 5
1.3 系统模型的建立 7
1.3.1 数学建模 7
1.3.2 多模型协同建模 7
1.3.3 权衡抽象程度与模型的匹配程度 8
1.3.4 建立系统模型的注意事项.9
1.4 数学模型与AI模型的关系 11
第2章 常见的无线网络及其相关标准 13
2.1 无线通信基础知识 13
2.1.1 消息、信号及传输 13
2.1.2 信号及其发送速率对吞吐率的影响 14
2.2 IEEE 802.11无线局域网络 14
2.2.1 IEEE 802.11无线局域网络的组成 14
2.2.2 IEEE 802.11标准及其演进 16
2.2.3 WLAN存在的挑战 17
2.3 IEEE 802.15.4无线传感器网络 19
2.3.1 IEEE 802.15.4无线传感器网络的组成 19
2.3.2 IEEE 802.15.4无线传感器网络的拓扑结构 19
2.3.3 IEEE 802.15.4标准及其演进 21
2.4 射频识别系统 22
第3章 概率论与随机过程基础知识 24
3.1 随机现象 24
3.2 概率与随机变量 24
3.2.1 概率及其性质 24
3.2.2 随机变量及其分布函数 27
3.2.3 条件分布函数 30
3.2.4 随机变量的数学期望 31
3.2.5 随机变量的方差 34
3.2.6 条件数学期望 35
3.2.7 失效率函数 39
3.2.8 常用的随机变量及其概率分布 40
3.2.9 随机变量的“无记忆性” 48
3.3 随机过程 51
3.3.1 计数过程 51
3.3.2 泊松过程 52
3.4 马尔可夫链 61
3.4.1 离散时间马尔可夫链 61
3.4.2 离散时间马尔可夫链的极限概率分布 64
3.4.3 离散时间马尔可夫链的流平衡方程 70
3.4.4 连续时间马尔可夫链 77
第4章 常用的数学变换及*优化问题求解工具 78
4.1 拉普拉斯变换 78
4.2 单位脉冲函数及其性质 80
4.3 一类微分差分方程组及其解 82
4.4 遗传算法 83
第5章 IEEE 802.11无线局域网络相关数学模型 92
5.1 数据传输 92
5.1.1 数据可靠传输 92
5.1.2 累积误码帧块的数据传输方案 98
5.2 缓存管理 105
5.3 电源管理 124
5.3.1 时延约束下的电源管理 125
5.3.2 联合休眠定时器和空闲定时器的电源管理 132
5.3.3 接入点缓存约束下双定时器的电源管理 154
5.3.4 出站数据唤醒双定时器的电源管理 169
5.4 信道接入 178
5.4.1 两步指数退避策略 178
5.4.2 基于目标醒来时刻无竞争信道接入策略 190
5.5 帧聚合传输 199
5.5.1 数据链路层和物理层的数据包封装过程 199
5.5.2 MAC层服务数据单元的传输开销 201
5.5.3 MAC帧聚合方式 202
5.5.4 定时定量帧聚合传输策略 204
第6章 IEEE 802.15.4无线传感器网络相关数学模型 212
6.1 数据传输 212
6.1.1 数据收集树协议 212
6.1.2 按比例传输数据方案 215
6.1.3 利用Reed-Solomon码的数据可靠传输 218
6.1.4 IPv6数据包可靠传输 222
6.2 能量捕获无线传感器网络时分多址信道分配方案 226
6.2.1 帧长可变的动态信道分配方案 227
6.2.2 基于能量包时隙命中率的信道分配方案 231
6.3 无源感知网络能量管理策略 236
6.3.1 链路的误码率和交包率 237
6.3.2 接收方和发送方的能耗 237
6.3.3 多目标能量管理策略 238
第7章 射频识别系统反射通信的数学模型 245
7.1 双相间空号编码 245
7.1.1 双相间空号编码表示比特的符号 245
7.1.2 基于FM0反射通信中比特1和0的能耗比值 246
7.2 采用码本的节能反射通信方案 246
7.3 等长度码字高能效反射通信 247
7.4 利用非前缀码本的高能效反射通信 249
7.4.1 非前缀码本及其二叉树表示 250
7.4.2 能耗*小的非前缀码本设计 251
7.5 源数据块分组编码的反射通信 256
7.5.1 两组数据块单码本的反射通信 256
7.5.2 两组数据块单码本反射通信中低能耗码本设计 257
参考文献 260

第1章系统与模型
　　本章讲述系统、系统的模型、系统的建模、系统的仿真，内容包括系统的基本概念、系统的模型及其分类——实体模型（即物理模型）和非实体模型（包括虚拟模型、概念模型、数学模型、统计模型等）。
　　1.1系统
　　“系统”这个术语，*早见于古希腊原子唯物论创始人德谟克利特（公元前460～前370年）的著作《宇宙大系统》，该书指出任何事物都是在相互联系中显现出来的，都是在系统中存在的，系统联系规定每一事物，而每一联系又能反映系统联系的总貌。通俗地说，系统由相互作用、相互依赖的若干组成部分结合而成，是具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是更大系统的组成部分[2]。
　　系统的例子俯拾皆是。例如，一只手表是一个系统，它的各个零件组成了具有计时功能的有机整体。又如，一所高校是一个系统，它的校舍、设备、师资等组成一个整体，具有培养人才的功能。再如，计算机网络也是一个系统，网络设备、协议、软件组成一个有机整体，具有共享信息的功能。事实上，客观存在的所有物体都可以看成一个系统，因为它们都包含分子、原子等组成部分。现实世界中存在着林林总总的系统，虽然其功能不同，但它们有共性，就是具有实体、属性、活动这三个要素。实体确定了系统的构成和边界，属性描述了每一个实体的特征，活动定义了系统内部实体间相互作用并由此确定系统内部发生变化的过程。
　　1.2系统的模型
　　为了研究一个系统，通常是建立系统模型，通过研究模型来揭示原系统的特征和本质。模型是系统的简化表示，帮助人们更好地理解、分析真实的系统。模型是人为构造的，其类型、形状、规模、样式五花八门。对于同一个系统，根据研究系统的某些问题的不同侧重点，可以采用不同类型的模型。
　　模型可分为实体模型和非实体模型，前者拥有体积、重量等物理形态，而后者没有。实体模型，亦称物理模型，如玩具汽车、名人蜡像等。非实体模型有多种，如虚拟模型、概念模型、数学模型、统计模型等。
　　1.2.1虚拟模型
　　虚拟模型依据数字，借助电子设备，以可视化方式表现系统的形态及其他特性。
　　例如，数字人是现实世界中人的虚拟模型。数字人是计算机模拟出的具有人的形态的虚拟人，它整合了人物形象、声音以及自然语言处理、知识图谱解析等技术。数字人是人工智能的一种进化，是通过计算机图形学技术制作的虚拟的类似于人的形象，不具有现实世界中的身体。数字人具备人类的外观和行为模式，具有人类身体的外观和形体结构，表现出来的行为模式是与人类相似的。构建数字人的数据存在于计算设备（如计算机、手机）中，只有借助显示设备，才能够呈现人类可见的形态和动作。
　　另外，微信视频聊天看到的人，也是人的虚拟模型，是根据数字利用计算设备重构并在计算机或手机屏幕上显示出来。
　　1.2.2概念模型
　　概念模型以抽象方式描述一个系统，已经应用于许多领域，如科学、社会学、经济学、软件开发等。概念模型以概念、印象或构思表达一个系统。图1.1是概念模型形成过程的示意图，图中荷花是一个实体，建模者通过抽象和描述形成荷花的概念模型（一段文字）。
　　对于同一个系统，因建立模型者理解存在差异，或建立模型的侧重点不同，所建立的概念模型可能存在很大的差别，有的概念模型甚至于令人费解。
　　例如，对于荷花这一实体，百度百科（https://baike.baidu.com/）描述如下：属山龙眼目、莲科，是莲属中2个物种“莲花”和“黄莲花”及众多人工培育品种的通称。是多年生水生草本花卉。地下茎长而肥厚，有长节，叶盾圆形。花期6至9月，单生于花梗顶端，花瓣多数，嵌生在花托穴内，有红、粉红、白、紫等色，或有彩纹、镶边。坚果椭圆形，种子卵形。
　　可以认为上述内容是荷花的一个概念模型，侧重于植物特征。
　　北宋文学家周敦颐的《爱莲说》，将荷花描绘为“出淤泥而不染，濯清涟而不妖，中通外直，不蔓不枝，香远益清，亭亭净植，可远观而不可亵玩焉”。这是荷花的又一个概念模型。
　　对于同一个实体荷花，上述两个概念模型的差异较大，尤其是后者，不是一般人能够理解的。
　　文人墨客对人物的描述，可以看成相关人物的概念模型。例如，在金庸先生的小说《天龙八部》中，因为木婉清在其师傅前面发了毒誓：“看到其面容者，要么嫁给她，要么杀了他。”因而，她终日罩着面幕，使得人们难见其真容。一天，段誉与木婉清逃亡到一悬崖上，段誉在给受伤的木婉清喂水时，明亮的阳光照在她下半张脸上。“段誉见她下颏尖尖，脸色白腻，一如其背，光滑晶莹，连半粒小麻子也没有，一张樱桃小口灵巧端正，嘴唇甚薄，两排细细的牙齿便如碎玉一般。”[3]这段文字，对木婉清的下半张脸进行描绘，是下半张脸的概念模型。
　　当木婉清遭遇恶煞南海鳄神时，南海鳄神欲取下其面幕，她不敌南海鳄神，又不想以身相许于他，就转身在段誉面前摘下面幕，欲嫁给段誉。“段誉登时全身一震，眼前所见，如新月清晖，如花树堆雪，一张脸秀丽绝俗，只是过于苍白，没半点血色，当因长时面幕蒙脸之故，两片薄薄的嘴唇，也是血色极淡。”[3]至此，金庸先生建立了木婉清整张脸的概念模型。事实上，不同读者对“新月清晖，花树堆雪，秀丽绝俗”有不同的印象，因而，根据木婉清脸部的概念模型，不同读者脑海中木婉清的脸是存在差异的。
　　作者读大学期间，曾经阅读梁羽生先生的小说《七剑下天山》，小说中对天山的描绘——天山的概念模型，使我对天山神往。然而，当作者于2008年去新疆上天山之后，脑海中天山的美景烟消云散，荡然无存，因为现实的天山与小说中描绘的天山相差甚远。
　　上述例子说明，描述不够充分、或过于夸张、或掺杂个人情感、或抽象程度过高等诸多因素，均可能导致概念模型的使用者在理解原系统时产生偏差，甚至于大相径庭。
　　1.2.3物理模型
　　简言之，物理模型就是以实物的形式表示一个系统。在日常生活中，物理模型俯拾皆是。例如，地球仪是地球的物理模型，玩具飞机和玩具汽车分别是飞机和汽车的物理模型。
　　根据是否存在能量转换的动力系统，实体模型可分为静态模型、动态模型和助力模型，其中，静态模型的物理特性保持相对静态，不具有能量转换的动力系统，不需要外部作用力就能够表现其结构及形体完整性；动态模型在自身结构中具有动力转换系统，通过能量转换方式产生动能及物理运动形式；助力模型以静态模型为基础，借助外界动能，在不改变自身表现结构的前提下，通过物理运动检测其特性。
　　物理模型又可分为实物模型和类比模型。实物模型与原系统之间存在一定的比例关系。除了上述玩具飞机和玩具汽车之外，风洞实验中飞机模型、建筑模型、船舶模型等，也都属于实物模型。类比模型和原系统属于不同领域，两者物理意义不同，但从模型中获得的分析结果，适用于原系统。例如，在一定条件下由节流阀和气容构成的气动系统的压力响应，与一个由电阻和电容所构成的电路输出电压特性具有相似的规律，由于在电路上做实验比在气动系统上容易，可以用电路来模拟气动系统的压力响应，将电路上取得的实验结果类推到原来的气动系统的压力响应。
　　可将演员看成所扮演角色的物理模型。林黛玉是《红楼梦》的主人公之一，《红楼梦》第三回是这样描绘林黛玉的[4]：“两弯似蹙非蹙罥烟眉，一双似泣非泣含露目。态生两靥之愁，娇袭一身之病。泪光点点，娇喘微微。娴静时如姣花照水，行动处似弱柳扶风。心较比干多一窍，病如西子胜三分。”这是林黛玉的概念模型。
　　扮演林黛玉的演员有许多，但其外貌差异很大。这就是说，林黛玉的物理模型有许多，且存在着很大差异。因为谁也没有见过真正的林黛玉，所以这些相貌迥异的扮演者都能被观众所接受。
　　事实上，小说人物本来就是虚构的，由虚构的人物描述（概念模型）构造出来的人物（物理模型）千姿百态，也是符合情理的。对于同一个真人，其模型也多种多样。例如，孙中山先生的物理模型有多种，包括蜡像、雕像等。
　　物理模型的特点是，实物的形态结构与原来的真实事物的特征、本质很相似，实物的复杂度、功能由研究原系统的目的决定。在建立物理模型时，要抓住主要特征，忽略次要细节。例如，蜡像属于静态物理模型，建模的目的是让游人观赏其外表形象。如果要让游人观赏其外表并了解其血液流动情况，那么需要在蜡像中添加模拟血液循环的装置，使模拟血液的液体不断地流动。此时，蜡像就成为动态物理模型。
　　1.2.4数学模型
　　数学模型是指采用数学概念和数学语言描述的模型。数学模型可以由代数方程、微分方程、差分方程、积分方程等组合而成，通过这些方程描述系统各变量之间的相互联系、相互约束或因果关系。数学模型描述的是系统的行为和特征，而不是系统的实际结构。
　　一个数学公式可以表示一个系统。例如，牛顿的第二运动定律为：物体的加速度a与物体所受的合外力F成正比，而与物体的质量m成反比。其数学模型为
　　F=ma(1.1)
　　数学模型可以分为确定性模型和随机模型。确定性模型是一个由完全肯定的不包含任何随机成分的函数关系（因果关系）所决定的模型。对于确定性模型，只要设定了输入和各个输入之间的关系，其输出就是确定的，与实验次数无关。例如，在式(1.1)中，只需给定加速度a和质量m，合力F就确定了。随机模型亦称非确定模型或概率模型，它包含随机变量。常见的随机模型有随机存储模型、排队模型、马尔可夫决策模型等。
　　一个系统的变化往往受到许多因素影响，这些因素或为确定的，或为随机的。在建立数学模型时，如果影响研究对象的主要因素是确定的且随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以通过平均值来体现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响不可忽略，那么就需要建立随机模型（称为随机建模），用随机变量和概率分布来描述随机因素的影响。
　　数学具有概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性、体系的完整性和应用的广泛性等特点，数学模型的作用包括解释某些客观现象、预测未来的发展规律、对解决某些实际问题提供*优策略或较好策略等，它在自然科学领域及社会科学领域得到广泛应用。
　　1.2.5统计模型
　　统计模型指以概率论为基础，采用数学统计方法建立的模型。可以将统计模型理解为数对(X，P)，其中，X是可能出现的观察值集合，而P是出现集合X中元素的概率分布。
　　1.2.6模型与仿真
　　仿真的定义不断演变。1961年，Morgenthater将仿真定义为在实际系统尚不存在的情况下对系统或活动本质的实现。1978年，Korn在《连续系统数字仿真》一书中，将之定义为用能代表所研究的系统的模型做实验。1982年，Spriet将仿真定义为所有支持模型建立与模型分析的活动。1984年，Oren提出仿真是基于模型的活动。无论哪种定义，仿真基于模型这一观点是共同的。因此，仿真与模型的关系密不可分。
　　现代仿真绝大部分是在计算机硬件和软件支持下进行的。计算机仿真一般基于概念模型，通过运行计算机的程序来表达概念模型。以运行计算机程序表达的模型，称为计算机仿真模型，以下简称仿真模型。
　　系统、概念模型和仿真模型的关系如图1.2所示。采用仿真模型的一般流程为：从实际系统出发，利用有关知识并做一些假设，对系统进行描述，再进行抽象与简化，获得系统的概念模型，基于概念模型设计仿真模型，*后编写程序并运行。
　　系统仿真**步，对实际系统建立并完善概念模型。在概念模型可信之后，建立并完善仿真模型。只有在建立了正确的仿真模型之后，才开始编写并运行程序，再将运行结果与实际系统进行比对。倘若所得的运行结果与实际系统出入较大，那么就需要从头开始，进一步修正与完善概念模型和仿真模型。系统仿真的具体步骤如图1.3所示。