在当今高等数学教育与学科竞赛深度融合的时代，大学生数学竞赛已成为锤炼数学思维、检验学术能力的重要试金石，更是推动数学教育创新与人才选拔的关键引擎。《大学生数学竞赛典型问题与综合训练》针对大学生数学竞赛典型问题，系统展示了其各种求解方法，并且分层次分类别给出了综合训练题目。《大学生数学竞赛典型问题与综合训练》共10章，分为四部分。**部分（第1—3章），给出了不同类型极限的各种求法，包括极限的基本求解方法、斯托尔茨定理及其应用，以及和式极限的求法与估计。第二部分（第4，5章），探讨了高阶导数的各种典型求法和微分中值定理及其应用。第三部分（第6—8章），展示了定积分和含参量定积分的各种求解方法，以及柯西-施瓦茨积分不等式及其应用。第四部分（第9，10章），分别研究了级数求和的各种方法以及渐近幂级数的复合及其应用。

目录
前言
第1章 极限的基本求解方法 1
1.1 预备知识 1
1.2 等价无穷小代换 2
1.2.1 化和差为乘积 4
1.2.2 凑成等价无穷小的形式 5
1.2.3 递推求极限 5
1.3 洛必达法则 7
1.3.1 结合等价无穷小代换求解.8
1.3.2 先取对数 8
1.3.3 凑成分式再求导 9
1.4 海涅定理 10
1.4.1 指数对数型数列的极限 11
1.4.2 一类特殊平均极限的推广 11
1.5 麦克劳林公式 13
1.5.1 相减的形式 16
1.5.2 凑成无穷小的情形 17
1.5.3 复合函数的麦克劳林展开 18
1.5.4 指数对数型函数的极限 19
1.5.5 指数对数型函数的渐近展开 20
1.6 分子、分母有理化 22
1.6.1 直接有理化 22
1.6.2 凑成分子有理化 22
1.7 迫敛性 23
1.7.1 *大、*小放缩 24
1.7.2 达布和放缩 26
1.7.3 利用常见不等式放缩 30
1.8 单调有界定理 32
1.8.1 平均数列与极限 35
1.8.2 平均值与圆周率 36
1.8.3 调和数与欧拉常数 36
1.8.4 零点的唯一性与渐近性 38
1.9 压缩映像原理 40
1.10 沃利斯公式与斯特林公式 43
第1章 练习 46
第2章 斯托尔茨定理及其应用 51
2.1 预备知识 51
2.2 斯托尔茨定理 52
2.3 与均值相关的极限 58
2.4 与欧拉常数类似的和式极限 61
2.5 与整数幂和相关的极限 62
2.6 与分部求和公式相关的极限 63
2.7 无穷小迭代序列的渐近性 65
2.8 无穷大迭代序列的渐近性 69
2.9 递推数列的渐近性 72
第2章 练习 73
第3章 和式极限的求法与估计 76
3.1 预备知识 76
3.2 和式极限的定积分求法 77
3.2.1 和式极限与定积分转化的原理 77
3.2.2 乘积极限取对数转化为和式极限 80
3.2.3 放缩法结合迫敛性 80
3.3 求和与极限交换次序 83
3.4 乘积和式极限的求法 86
3.5 和式极限的渐近估计 87
3.5.1 *次估计 88
3.5.2 两项估计 90
3.5.3 欧拉-麦克劳林公式 91
3.6 和式极限的代换方法 93
3.6.1 无穷小等价代换 93
3.6.2 一致等价替换 95
3.6.3 和式的等价估计 100
第3章 练习 102
第4章 求高阶导数的方法 104
4.1 预备知识 104
4.2 积分的求导 107
4.3 反函数求导 108
4.4 高阶导数 110
4.4.1 先拆项后求导 110
4.4.2 用泰勒公式求导 111
4.4.3 用莱布尼茨公式求导 112
4.4.4 一些高阶导数公式 114
4.4.5 递推求导法 115
4.4.6 利用布鲁诺公式求导 119
第4章 练习 120
第5章 微分中值定理及其应用 124
5.1 预备知识 124
5.2 构造辅助函数的方法127
5.2.1 原函数法 127
5.2.2 积分因子法 130
5.2.3 辅助函数构造形式归纳总结 133
5.2.4 行列式法 134
5.2.5 常数K值法 138
5.2.6 含有积分的辅助函数构造 142
5.3 利用中值证明不等式 142
5.4 用中值的估计求极限 145
5.4.1 增量形式 146
5.4.2 看成整体 146
5.4.3 脱外套 147
5.4.4 和式极限 148
5.4.5 含参量积分的极限 150
5.5 多中值点问题 152
5.5.1 可能相等的双中值问题 153
5.5.2 不相等的多中值问题 153
5.6 中值的渐近性 160
5.7 零点的存在性与个数问题 161
第5章 练习 162
第6章 定积分的基本计算方法 169
6.1 预备知识 170
6.1.1 积分公式 170
6.1.2 三角恒等式 171
6.1.3 万能置换公式 171
6.1.4 和差角公式 172
6.1.5 一些重要的定积分 172
6.2 换元法 173
6.2.1 根式代换 174
6.2.2 三角代换 175
6.2.3 区间分解 176
6.2.4 倒代换 177
6.2.5 综合例题 178
6.3 对称性法 180
6.4 分部积分法 181
6.4.1 基础题型 182
6.4.2 综合例题 183
6.4.3 反函数的原函数 185
6.5 有理函数拆分法 187
6.6 递推法 188
6.6.1 常见的不定积分递推公式 189
6.6.2 有关三角函数方幂的积分 191
6.6.3 可化为三角函数方幂的积分 192
6.6.4 有关正弦函数比的积分公式 194
6.7 区间再现公式 200
6.7.1 有关两个函数乘积的积分公式 200
6.7.2 有关三个函数乘积的积分公式 207
6.8 级数解法 208
6.8.1 幂级数解法 208
6.8.2 傅里叶级数解法 210
6.9 综合应用的典型案例 210
6.9.1 含对数函数的定积分 210
6.9.2 分段积分法 215
6.9.3 欧拉积分 217
6.9.4 罗巴切夫斯基积分法 219
第6章 练习.224
第7章 含参量的定积分 231
7.1 预备知识 231
7.2 含参量积分求导公式 233
7.3 求导与积分交换次序 234
7.3.1 费曼积分法 234
7.3.2 积分符号下微分法 239
7.4 二重积分交换次序法 243
7.4.1 傅茹兰尼积分公式 243
7.4.2 积分号下积分法 247
7.5 欧拉积分 249
7.5.1 基本性质与应用 249
7.5.2 余元公式 252
7.6 其他**积分 258
7.6.1 狄利克雷积分 258
7.6.2 高斯积分 262
7.6.3 菲涅尔积分 265
7.6.4 拉普拉斯积分 268
7.7 积分与极限交换次序 270
7.7.1 换次序的定理与应用 270
7.7.2 无需交换次序积分的极限 275
第7章 练习 276
第8章 柯西-施瓦茨积分不等式及其应用 279
8.1 预备知识 279
8.2 柯西-施瓦茨积分不等式 282
8.3 被积函数与其导数平方的积分不等式 285
8.4 奥尔不等式 288
8.5 被积函数与其倒数的积分不等式 289
8.6 利用重积分证明积分不等式 291
第8章 练习 292
第9章 求级数和的方法 295
9.1 预备知识 296
9.2 裂项相消法 299
9.2.1 有理形式 300
9.2.2 反正切余切函数 303
9.2.3 含有调和数的级数求和 304
9.3 用幂级数求和 305
9.3.1 求数项级数和的方法 305
9.3.2 利用逐项求积或求导求解 307
9.3.3 柯西乘积公式求和 308
9.3.4 利用幂级数证明恒等式 310
9.4 交错级数求和 311
9.4.1 1级交错级数的定积分表示 311
9.4.2 q级交错级数的定积分表示 312
9.5 欧拉公式求和 313
9.5.1 正余弦数列求和 314
9.5.2 离散狄利克雷和 315
9.6 用傅里叶级数求和 317
9.6.1 利用二次函数的傅里叶级数求和 318
9.6.2 利用符号函数的傅里叶级数求和 319
9.6.3 利用指数函数的傅里叶级数求和 320
9.7 构造微分方程求解 320
9.7.1 数项级数之和 320
9.7.2 幂级数之和 321
9.7.3 递推数列与生成函数 323
9.8 用二重积分计算二重级数 325
9.9 复合函数的幂级数展开 326
9.9.1 直接展开的方法 327
9.9.2 求导后逐项求积或求积后逐项求导 327
9.9.3 求导后利用幂级数法 328
9.10 综合应用:解决巴塞尔问题的三种方法 330
9.11 综合应用:积分与级数 336
第9章 练习 338
第10章 渐近幂级数的复合及其应用 343
10.1 预备知识 343
10.2 关于指数、对数、幂函数复合的渐近幂级数展开 345
10.3 三角函数复合的渐近幂级数展开 348
10.4 复指数函数复合的渐近幂级数展开 354
10.5 方程根的渐近分析 356
10.6 移位渐近幂级数的展开 359
第10章 练习 361
参考文献 362

第1章极限的基本求解方法
　　在微积分中，一般先介绍极限理论.极限理论是现代数学的基础，作为入门知识，所占章节比例不大.但实际上，极限是微积分中*难的部分.这是因为后续章节中函数的连续性、导数、定积分、重积分、*线积分、*面积分、奇异积分、无穷级数的收敛性等都是用极限来定义的.只有把极限掌握好了，才能够驾驭高等数学复杂的计算与理论.总而言之，极限是数学中极其重要的一个概念，它是几千年人类智慧的结晶.
　　求解极限的基本方法很多，例如：定义、等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒（麦克劳林）展开、分子分母有理化、迫敛性（夹逼定理：）、单调有界定理、压缩映像原理、拉格朗日中值定理等.此外，求极限比较高级的方法包括定积分求和式极限法、斯托尔茨（Stolz）定理、塔内里（Tannery）定理等，我们将分章节单*重点介绍.
　　1.1预备知识
　　需要牢记以下基本的数列极限.
　　除了两个重要极限外，
　　1.
　　2.
　　定理1.1（无穷大量的比较）
　　例题1.1
　　解对于a>0，分三种情形讨论.
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　1.2等价无穷小代换
　　“无穷小”指的是“趋于零的变量进一步，两个无穷小量还可以比较阶数高低.设函数f（x）与函数均为当吻时的无穷小量.
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）
　　利用等价无穷小代换，像，之类的函数可化为一次函数或多项式函数，让复杂函数变成简单函数，这是一种化繁为简的方法，数学中称之为转化的思想.下面介绍等价无穷小代换定理.
　　定理1.2（等价无穷小代换定理）
　　设函数
　　（i）
　　（ii）
　　注以上定理说明等价无穷小在乘除法的极限里可相互替换，但在加减法的极限中却不能.同时，对应数列也有相同结论.
　　等价无穷小代换定理可以理解为：一个分式型的极限，如果把分子分母都
　　变成各自的等价无穷小，极限值不变.
　　等价无穷小代换法是求极限的方法中*常用、*简单的方法.
　　当时，有如下*基本的等价无穷小：
　　例题1.2求极限
　　解当时，有
　　所以
　　练习1.1
　　下面分几种典型情形介绍等价无穷小代换在求极限中的应用.
　　1.2.1化和差为乘积
　　化和差为乘积的目的是提出某一项，以便化简.
　　练习1.2求极限.
　　例题1.3计算极限
　　解对于分子上这种指数相减的结构，常用的手段是把其中一个提出来.