近几十年来，海洋声学理论与计算模型的发展受到了很多国家（尤其是海洋大国）的重视，海洋声学中的抛物方程方法发展特别迅速，在复杂海洋环境的声传播、矢量声学、地震声学等领域的研究中被广泛应用。《海洋声场中的抛物方程方法》基于作者团队多年的研究成果，系统介绍海洋声学中的抛物方程方法，包括适用于二维液态 /弹性海底的抛物方程建模方法、适用于三维液态/弹性海底的抛物方程建模方法以及复杂海洋边界条件的处理、声矢量场的计算及其应用等。

目录
丛书序
自序
第1章绪论1
1.1声传播建模技术的发展1
1.1.1射线声学模型的发展3
1.1.2简正波模型的发展3
1.1.3快速场模型的发展6
1.2抛物方程方法的发展及应用7
1.2.1二维抛物方程的发展9
1.2.2三维抛物方程的发展15
1.2.3抛物方程模型的应用18
1.2.4抛物方程模型的未来发展方向21
参考文献22
第2章抛物方程模型基础29
2.1流体抛物方程理论29
2.2弹性抛物方程方法31
2.2.1流体介质中抛物方程计算方法31
2.2.2弹性体介质中抛物方程计算方法33
2.3海底边界的处理方法34
2.3.1水平海底边界的处理方法34
2.3.2不规则弹性海底边界的处理方法35
2.4声源位于流体介质中的自初始场43
2.5基于弹性抛物方程方法的声矢量场求解44
参考文献46
第3章弹性Pekeris波导中的抛物方程方法47
3.1倾斜海底环境中声波能量泄漏现象47
3.1.1模型的检验47
3.1.2声源深度对声波能量泄漏的影响49
3.1.3声源频率对声波能量泄漏的影响52
3.1.4声波能量向海底泄漏位置的解释54
3.2岸上地震波传播规律55
3.2.1声源深度对岸上地震波分布的影响55
3.2.2声源频率对岸上地震波分布的影响61
3.2.3海水深度对岸上地震波分布的影响66
3.2.4海底地形对甚低频声传播的影响70
3.2.5海底声速对甚低频声传播的影响76
第4章弹性沉积层影响下的声场特性80
4.1弹性沉积层对低频声场影响的仿真分析80
4.1.1海底水平、倾斜弹性体-弹性体边界条件下声场数值计算80
4.1.2连续起伏变化分层弹性海底条件下声场数值计算82
4.2分层弹性海底中低频声场空间分布仿真计算86
4.2.1地形变化条件下声场空间分布仿真计算86
4.2.2倾斜海域声场空间分布仿真计算95
参考文献106
第5章三维直角坐标系下抛物方程方法107
5.1三维直角坐标系下抛物方程模型局限性及其改进方法107
5.1.1三维直角坐标系下抛物方程模型107
5.1.2模型的性能检验109
5.1.3简正波-抛物方程联合模型116
5.1.4三维抛物方程非均匀网格离散模型123
5.2完全匹配层技术在抛物方程模型中的应用129
5.2.1完全匹配层基本理论130
5.2.2完全匹配层技术在二维流体抛物方程模型中的应用131
5.2.3完全匹配层技术在二维弹性抛物方程模型中的应用136
5.2.4完全匹配层技术在三维抛物方程模型中的应用144
参考文献154
第6章三维柱坐标系下抛物方程方法156
6.1三维柱坐标系下抛物方程理论156
6.1.1三维抛物方程基本理论156
6.1.2自初始场158
6.1.3网格划分及矩阵方程160
6.2三维柱坐标系下模型的标准检验问题与仿真分析167
6.2.1水平波导168
6.2.2楔形波导170
6.2.3锥形海底山波导173
6.3三维声传播特性研究175
6.3.1海洋波导中三维声场效应强弱的评判176
6.3.2楔形波导和锥形海底山波导三维声场效应分析177
6.4三维抛物方程联合预报模型179参考文献182
第7章三维弹性海底的抛物方程声场建模方法183
7.1具有弹性海底的楔形海区中抛物方程的推导183
7.1.1*格式的弹性抛物方程186
7.1.2*格式的弹性抛物方程188
7.2弹性抛物方程模型中边界条件的处理189
7.2.1边界条件概述189
7.2.2倾斜海底边界条件处理189
7.3基于傅里叶变换的弹性抛物方程数值求解方法191
7.4数值计算结果的检验与分析193
7.4.1水平波导中声场计算结果的检验193
7.4.2数值计算结果在水平面内的角度限制196
7.4.3地形变化海域中声场计算及水平折射效应分析198
7.5弹性海底海域中声传播的水池模拟实验203
7.5.1水池模拟实验概况203
7.5.2实测数据的声压传播损失计算过程206
7.5.3声压传播损失的实测结果与理论结果对比209
参考文献212
索引213

第1章 绪论
　　海洋覆盖了地球表面 71%的面积，蕴藏着丰富的生物和矿产资源，海洋资源的探测与开发日益受到世界各国的重视。电磁波在海水中的传播衰减很快，而声波是目前唯一能够在水下远距离传播的能量辐射形式，所以，声波是海洋中进行水中目标探测的主要载体。作为信息载体的声波，在海洋中所形成声场的时空结构就成为近代水声学的基本研究内容，提取海洋中声场信息结构又是水下探测、识别、通信以及海洋环境监测等的手段之一。
　　水声传播建模是研究其他水声学问题的基础，水声传播模型可以通过其所应用的理论方法进行分类。常用的水声传播建模方法主要包括抛物方程（ parabolic equation，PE）方法、简正波方法、快速场（波速积分）方法和射线方法等。
　　本章将介绍声传播建模技术的发展状况，重点介绍抛物方程方法的发展。
　　1.1声传播建模技术的发展
　　在军事需求的推动下，水声技术的发展突飞猛进，而作为水声技术的基本课题，水声传播理论的研究始终受到重视。由于海洋水声环境的重要性，20世纪40年代后国外在海洋的水声环境特性方面进行了深入研究，发现了深海会聚区、深海声道轴等著名的水声环境效应，各种水声理论也日趋成熟。
　　在传播模型方面，从昀初简单的海洋环境参数与距离无关的二维模型发展到了目前被广泛研究的海洋环境参数与距离有关的三维模型，建模过程考虑了更复杂的海洋环境，进一步接近海洋中实际的声传播环境。文献 [1]对水声建模技术进行了很好的总结，目前常用的水声传播模型理论方法有射线方法、简正波方法、多路径展开方法、快速场方法和抛物方程方法等。图1-1给出了这些方法之间的关系[1]。
　　声场预报模型和算法研究与计算机的发展密不可分。以前由于计算手段的限制，处理复杂的水声学问题往往采用简化的解析方法，这样处理一般不能全面反映问题的真实情况，导致结果的局限性和不准确性。随着计算机运算速度的飞速提高以及数值计算技术的进步，水声学问题就可以从原来的简化处理变为更符合实际情况的处理，进而使水声学的研究内容大大扩展，水声模型也更近于实际情况。表 1-1为 Etter[1]在 2005年发表的著作中总结的水声传播模型的适用性。
　　图 1-1 水声传播模型理论方法之间的关系概要
　　表1-1 水声传播模型的适用性
　　1.1.1射线声学模型的发展
　　射线声学模型是数学上昀简单、物理意义上昀直观、发展昀早的声场分析方法，由光线传播理论引入，其基本思想是接收点接收到的声强被认为是到达接收点的许多根特征声线携带声波强度的相干叠加。每一根特征声线以各自的出射角度从声源沿着垂直于等相位面的声线路径传播，经折射、反射等过程到达接收点，等相位面被称为波阵面。几何射线声学认为，声能包含在声线束管中，声线束管截面积越大，该处的声强越小。特征声线从声源到接收点所经历的时间被称为声线的传播时间。
　　程函方程和强度方程是射线声学模型的基础方程。根据程函方程可以求出声线的方向，导出声线的传播时间与传播轨迹，根据强度方程可以求出声线的声压幅值，从而求解得到波动方程中的声压。几何声学近似限制了射线声学模型只适合于较高频率声传播的计算，一般传统认为水深大于 10倍波长时，射线声学模型适用，因此在深海环境中数百赫兹以上频段的声传播预报可采用声学模型。
　　1.1.2简正波模型的发展
　　作为声传播模型中较基础且使用较为广泛的模型之一，简正波模型由
　　Pekeris [2]提出，解决水平分层的声传播问题，因此水平分层的波导又被称为
　　Pekeris（匹克利斯）波导。在水平分层介质中，波动方程（图 1-1）可以分离变量，对边值问题利用汉克尔变换进行求解，可以得到声场的积分表示[3，4]：
　　(1-1)
　　式中，A为常数，取决于声源强度； H0 为**类零阶汉克尔函数；r为水平距离； W 1 2 2 1 ；z为深度；z0为声源深度；z1 .min( ， zz 0) ；z2 .max( ， zz 0) ；.z .z .为本征值；.1 、.2 为对亥姆霍兹方程分离变量后关于 z的常微分方程在满足海面边界和海底边界条件下的解：
　　22
　　（1-2）
　　式中， Z表示使用分离变量法后波动方程以深度 z为变量的一部分； k表示介质波数。
　　对上面积分式（1-1）的求解有两种方法，一是对汉克尔函数进行远场近似，则积分可以转化成傅里叶变换的形式，可采用快速傅里叶变换（fast Fourier transform，FFT）的方法进行求解，此种求解方法即是快速场方法，将在 1.1.3节对该方法进行介绍；二是简正波的方法，在 ξ的复平面上利用留数定理进行积分式的求解：
　　式中，等式右端**项求和式为简正波的表示形式，也为离散谱部分，ξn对应着本征值，ξn为实数时，对应着传播的简正波， ξn为复数时，对应着衰减的简正波，其幅值随着距离的增加呈指数规律衰减，考虑远距离的声传播，前者占主要部分；第二项积分式表示分支割线对积分的贡献，对应着声场中的侧面波部分，也是连续谱部分，它随距离的衰减比球面衰减要快，仅对声源近处的声场有贡献 [5]。对于使用海底阻抗边界条件的声传播问题（如海底为弹性海底），实际解由三个谱区组成[6]：连续谱（ 0<ξ　　简正波理论从波动方程出发，给出了严格的解析解，理论上适合计算任意声速分布的水平分层介质传播问题，并且有成型的快速算法 [7，8]。简正波理论的基础工作在于求解常微分方程（ 1-2）和寻找复平面上的孤立奇点（即本征方程 W(， 0) ，也就是本征函数和本征值的计算，除常用的温策尔 -克拉默.z .0 的根）斯-布里渊（Wentzel-Kramers-Brillouin，WKB）近似外，还可以利用数值方法进行求解[9-11]，本征函数和本征值的计算直接影响着声场的计算精度和计算效率。
　　在与距离有关的海洋环境中，波动方程一般不能被分离变量，也就不再存在传统意义下的简正波，当这些水平变化不太大时，仍可以借鉴水平分层介质问题的求解思路，假定声场还具有类似简正波的结构。Pierce[12]和 Milder[13]*先将简正波理论扩展至水平缓变环境中的传播问题求解，提出了绝热简正波理论，其应用前提是：环境水平方向上的变化足够缓慢，使声场还可以用简正波的形式描述；不同阶的简正波沿着不同路径传播，彼此之间没有能量交换。
　　绝热简正波理论在传播环境变化剧烈或传播距离远时不再适用，它除没有考虑不同阶简正波之间的耦合限制外，应用中主要限制就是简正波的截止问题。声波在具有楔形海底的海域中传播时，会出现明显的截止效应：在一定“截止”距离上，简正波依次不断消失，由传播型变成衰减型，大部分能量透射入海底介质。
　　这时可以利用耦合简正波理论进行求解。它是将整个海域在水平距离上划分为许多个与距离无关的小区域，这样在每个小区域内就可以给出简正波的本征函数形式，从而给出方程的非齐次形式，昀后对各区域中的声场利用边界条件衔接起来再联立求解。典型的耦合简正波程序是 COUPLE。
　　Abawi等[14]将耦合简正波理论与抛物方程方法结合起来，提出了耦合简正波-抛物方程理论。耦合简正波-抛物方程理论在垂直方向采用本地简正波，这就克服了抛物方程方法只能计算远场，且在频率较高时垂直网格的划分必须加密，使得计算时间呈几何级数增加而难于用到高频问题的缺点；在水平方向采用抛物方程方法求解简正波系数方程，可以克服由于耦合简正波模型的分段水平均匀近似带来的误差，耦合系数中考虑海底倾斜的影响，可以利用大的水平步长进行步进求解，同时可以方便地应用于三维声传播问题[15]。
　　对于水平不变和水平变化相对缓慢的海区，国外近年来发展的声场计算模型很多，在这方面，我国学者基于 WKB近似提出了一种广义相对积分理论——温策尔-克拉默-布里渊-张仁和（ Wentzel-Kramers-Brillouin-Zhang，WKBZ）理论 [16]、波束位移射线简正波理论[17]和基于 WKBZ理论的绝热简正波理论[18]，分别在深海和浅海的环境中，实现了声场快速、精确的预报。但是对于水平变化较大的海洋环境，必须考虑水平变化对声场的影响，这些算法精度上不再满足要求，我国学者提出了一种基于 WKBZ理论的耦合简正波-抛物方程理论[15]，并将二维问题推广至三维声场计算，并对算法的实现进行了研究[19]。
　　目前常用的耦合简正波理论的实现步骤为：①把波导沿水平方向分为若干切片，每个水平切片内求解本地简正波本征波数和本征函数；②利用相邻切片的连续性条件、声源激励条件和无穷远处的辐射条件，建立简正波耦合矩阵方程，求解每个水平切片内各阶简正波的幅值；③把本地简正波本征波数、本征函数和幅值代入声压公式，计算声场。COUPLE07耦合简正波模型就是利用了上述步骤，可以提供亥姆霍兹方程的完全双向解。该模型通过解耦算法解决了传统迭代方法中存在的数值不稳定性问题。该模型计算精度高，是二维水平变化波导声场预报的标准模型。该模型的缺点是计算量大，且存在解的不合理归一化导致的数值不稳定问题。杨春梅等[20]在 Evans[21]提出的耦合简正波模型的基础上，提出了全局耦合矩阵耦合简正波理论，该理论可以精确、稳定地求解水平变化波导二维双向声传播问题，相对于 COUPLE07耦合简正波模型，该方法避免了大量的矩阵变换及乘积运算，显著提高了计算效率，同时提出了解的合理归一化策略，消除了现有双向模型导致的数值发散问题。
　　耦合简正波方法是计算水平变化环境声场的常用数值方法，是研究水平变化波导中的声传播特性、海洋不均匀现象（中尺度涡、锋面、内波等）等引起的声场起伏海底地形地貌特征获取方法的基础。该方法虽然可以实现前向和后向声场的双向计算，并且计算精度也比较高，但是计算量很大，主要包括大量本地简正波的计算和高维耦合矩阵方程的求解。因此，耦合简正波理论在实际应用中受到限制。
　　但在三维扩展方面，与其他声场模型相比，应用于水平变化波导中的耦合简正波模型则存在诸多不足和计算难点。在现有三维耦合简正波模型中，为简化数值计算的难度，保证数值计算的可行性，常常需忽略某一水平方向的耦合作用，或者需要海洋环境满足一定的对称性。对于声场的某些特性分析以及某些特定环境下的声场计算，该方法是可行的；但对于一般波导的声场计算以及大部分声场特性分析而言，该方法会存在较大限制。例如，在三维柱坐标系的远场情况下，单位方位角间隔下的弧长会随水平距离的增加而增大，则此时忽略水平方位角方向上的耦合作用将导致远场的声场能量计算存在一定误差，且该误差将随水平距离的增加而增大。虽然也存在所有水平方向耦合皆予以考虑的模型，但理论形式过于复杂，不便于数值实现。因此，可以说建立和发展便于数值计算且可适应于任意三维海洋环境下的耦合简正波模型是当前声场建模中的难题以及未来发展趋势之一。
　　1.1.3快速场模型的发展
　　在水声学中，快速场理论也叫波数积分法。在地震学中，这种方法通常也称为反射法或离散波数方法。水平分层介质的波数积分原理是 Pekeris*先引入水声学中的，他使用了简单的两层和三层环境模型处理水平分层波导中的声传播 [1，22]。 Ewing等[23]又使用这个技术研究层数很少的波导中地震波的传播。
　　在快速场理论中，对式（1-1）中的汉克尔函数应用渐近展开式 [24]：
　　(1)