《约束集分离与简约ADMM及其在雷达信号处理中的应用》系统阐述了目标函数分离交替方向乘子法(ADMM)，在此基础上发展了约束集分离与简约ADMM，解决实际应用中难以应对的复杂约束优化问题，并应用于雷达信号处理问题中。《约束集分离与简约ADMM及其在雷达信号处理中的应用》共10章，内容包括约束集分离与简约ADMM理论、雷达波形设计、阵列波束赋形及鲁棒自适应波束形成等雷达信号处理应用，具体包括包含频谱特性的雷达波形设计、基于波形设计的低旁瓣集中式多输入多输出（MIMO）雷达波束图合成、基于宽带波形设计的集中式MIMO雷达波束图合成、具有低自相关和互相关旁瓣的波形集设计、具有低旁瓣广义模糊函数的波形集设计、稀疏阵列波束赋形、无需模板波束赋形、自组织蜂群柔性阵列波束赋形和鲁棒自适应波束形成等。在对应问题的研究上，《约束集分离与简约ADMM及其在雷达信号处理中的应用》侧重数学层面的推导，从基础出发，注重方法的研究和创新，并结合工程需求，以实际问题驱动研究，知识结构完整，列举了大量的工程实例。

目录
前言
第1章 绪论1
1.1 基本ADMM1
1.1.1 基本ADMM的缩放形式2
1.1.2 算法的收敛性与终止准则3
1.1.3 罚函数的自适应调整3
1.1.4 研究现状4
1.2 约束集分离与简约ADMM5
1.2.1 多目标优化5
1.2.2 一致性ADMM5
1.2.3 约束集分离与简约ADMM框架6
参考文献9
第2章 包含频谱特性的恒模波形设计13
2.1 引言13
2.2 算法推导14
2.2.1 平谱恒模波形设计算法推导14
2.2.2 任意频谱恒模波形设计算法推导20
2.3 仿真实验27
2.3.1 平谱周期波形仿真实验27
2.3.2 平谱非周期波形仿真实验30
2.3.3 任意频谱恒模波形仿真实验31
2.4 本章小结34
参考文献34
第3章 *小旁瓣波束图合成36
3.1 引言36
3.2 *小旁瓣波束图设计准则37
3.2.1 MTPD准则37
3.2.2 MRC准则38
3.3 算法推导及算法性能分析39
3.3.1 MTPD算法推导39
3.3.2 MRC算法推导49
3.3.3 算法收敛性分析55
3.3.4 算法复杂度分析60
3.4 仿真实验61
3.4.1 MTPD算法仿真实验61
3.4.2 MRC算法仿真实验66
3.5 本章小结71
参考文献71
第4章 宽带MIMO雷达波束图合成74
4.1 引言74
4.2 谱约束下的宽带MIMO雷达波束图74
4.2.1 波束图匹配设计76
4.2.2 *小旁瓣发射波束图设计77
4.3 M-ADMM推导和复杂度分析77
4.3.1 推导步骤180
4.3.2 推导步骤283
4.3.3 M-ADMM计算复杂度分析84
4.4 P-ADMM推导和复杂度分析84
4.4.1 推导算法4.3中的ADMM步骤87
4.4.2 P-ADMM计算复杂度分析89
4.5 关键定理证明89
4.5.1 M-ADMM步骤相关结论暨定理4.1证明.89
4.5.2 P-ADMM步骤相关结论暨定理4.2证明94
4.6 仿真实验97
4.6.1 M-ADMM仿真实验97
4.6.2 P-ADMM仿真实验100
4.7 本章小结103
参考文献104
第5章 精确控制相关性的波形序列集设计106
5.1 引言106
5.2 精确控制波形序列的自相关和互相关107
5.2.1 精确控制的自相关旁瓣电平的波形序列集优化模型108
5.2.2 精确控制的互相关电平的波形序列集优化模型109
5.3 算法推导和复杂度分析110
5.3.1 ACASL的推导111
5.3.2 ACCL的求解算法123
5.3.3 算法复杂度分析124
5.4 仿真实验124
5.4.1 ACASL方法仿真实验124
5.4.2 ACCL方法仿真实验129
5.5 本章小结132
参考文献132
第6章 发射波形集和非匹配滤波器组联合设计135
6.1 引言135
6.1.1 相关函数和模糊函数135
6.1.2 *大块增量优化算法136
6.2 *小化模糊函数旁瓣电平模型138
6.3 用于求解约束集包含HOP优化问题的GMBI算法框架141
6.4 低复杂度多线性多项式函数计算147
6.4.1 多线性多项式函数147
6.4.2 向量ζl与标量el的计算150
6.5 仿真实验151
6.5.1 多线性多项式函数替换的MBIL算法与MBIL算法性能对比151
6.5.2 模糊函数设计仿真实验153
6.5.3 多目标探测应用仿真实验158
6.6 本章小结159
参考文献159
第7章 稀疏阵波束赋形161
7.1 引言161
7.2 基于ADMM的稀疏阵波束赋形算法推导161
7.2.1 任意阵稀疏波束赋形算法推导162
7.2.2 对称阵稀疏波束赋形算法推导168
7.3 仿真实验171
7.3.1 线阵稀疏波束赋形仿真实验171
7.3.2 面阵稀疏波束赋形仿真实验178
7.4 本章小结180
参考文献180
第8章 无需模板的阵列波束赋形183
8.1 引言183
8.2 无需模板的阵列波束赋形算法推导183
8.2.1 基于恒能量约束的无需模板波束赋形算法推导183
8.2.2 无需模板的唯相位阵列波束赋形算法推导.191
8.3 仿真实验197
8.3.1 无幅度约束的波束赋形仿真实验197
8.3.2 常模波束赋形仿真实验203
8.3.3 唯相位波束赋形仿真实验208
8.4 本章小结212
参考文献212
第9章 自组织蜂群柔性阵列波束赋形214
9.1 引言214
9.2 问题描述及数学建模215
9.3 算法推导216
9.3.1 基本算法216
9.3.2 扩展算法219
9.4 计算复杂度及收敛性分析223
9.5 仿真实验224
9.5.1 蜂群自组织优化实验224
9.5.2 天线个数的影响229
9.5.3 距离约束范围的影响229
9.5.4 鲁棒性测试230
9.6 本章小结231
参考文献231
第10章 基于ADMM的鲁棒自适应波束形成234
10.1 引言234
10.2 算法推导234
10.2.1 主瓣双边约束的鲁棒Capon波束形成算法推导235
10.2.2 双约束的鲁棒Capon波束形成算法推导237
10.2.3 脉冲噪声下的鲁棒Capon波束形成算法推导240
10.3 仿真实验242
10.3.1 主瓣双边约束的鲁棒Capon波束形成算法仿真实验242
10.3.2 双约束的鲁棒Capon波束形成算法仿真实验244
10.3.3 脉冲噪声下的鲁棒Capon波束形成算法仿真实验245
10.4 本章小结246
参考文献246

第1章 绪论
　　本章*先给出目标函数分离的基本交替方向乘子法 (alternating direction method of multipliers，ADMM)，用于求解线性约束下目标函数可分离的凸优化问题；其次，讨论基本ADMM的研究现状；*后，引入约束集分离与简约ADMM，用于解决复杂约束下的非凸优化问题。
　　1.1 基本ADMM
　　ADMM是一种集成对偶上升(dual ascent)法的可分解性(decomposability)和乘子法(method of multipliers)优秀收敛特性的优化方法[1]。通常，基本ADMM用于求解式(1.1)所示的线性等式约束的优化问题：
　　(1.1)
　　式中，变量x∈Rn，z∈Rm；常量A∈Rp×n，B∈Rp×m，c∈Rp。
　　遵循乘子法的思路，构造如式(1.2)的增广拉格朗日函数(augmented Lagran gian function)[1]：
　　(1.2)
　　式中，惩罚参数ρ>0，为增广拉格朗日函数的步长；λ∈Rp，为与约束Ax+Bz=c对应的拉格朗日乘子向量。
　　针对上述拉格朗日函数，ADMM通过以下迭代步骤进行求解[1]。
　　步骤0 给定初始值z(k)和λ(k)。
　　步骤1 基于获得的z(k)和λ(k)，求解式(1.3)，获得x(k+1)：
　　(1.3)步骤2 基于获得的x(k+1)和λ(k)，求解式(1.4)，获得z(k+1)：
　　(1.4)
　　步骤3 基于获得的x(k+1)和z(k+1)，更新拉格朗日乘子向量λ(k+1)，如式(1.5)所示：
　　(1.5)
　　步骤4 重复步骤1～3直至达到收敛的终止准则。
　　从以上步骤可以看出，基本ADMM框架具有这样的特点：.1完整的变量集{x，z}分为了x和z两部分；.2总目标函数可以分裂为f(x)和g(z)两部分，且分别为不同变量x和z的函数，这使得在求解子问题时可以充分利用每个子目标函数的特殊性质；.3求解时没有联合优化变量{x，z}而是交替优化变量x和z，因此算法名称包含交替方向(alternating direction)；.4约束集为简单的线性约束或其他简单的凸集。
　　1.1.1 基本ADMM的缩放形式
　　定义残差向量r=Ax+Bz.c及缩放对偶向量，则拉格朗日函数的乘子部分可重写为式(1.6)所示的形式[1]：
　　(1.6)
　　基于式(1.6)的表达，式(1.3)～式(1.5)描述的非缩放形式的算法步骤1～3可重写为如式(1.7)～式(1.9)的形式：
　　(1.7)
　　(1.8)
　　(1.9)显然，式(1.7)～式(1.9)的表达形式相比式(1.3)～式(1.5)更加紧凑。因此，称式(1.3)～式(1.5)为非缩放的ADMM算法，称式(1.7)～式(1.9)为缩放的ADMM算法。
　　1.1.2 算法的收敛性与终止准则
　　设以下假设成立。
　　假设1扩展实值函数f:Rn→R∪{+∞}和f:Rn→R∪{+∞}是正常闭凸函数。
　　假设2非增广拉格朗日函数L0(x，z，λ)，即ρ=0时的增广拉格朗日函数，具有鞍点，则ADMM算法迭代收敛后满足以下收敛特性[1]。
　　(1)残差收敛：当迭代次数k→∞时，原问题残差向量r(k)→0。
　　(2)目标函数收敛：当迭代次数k→∞时，目标函数f(x(k))+g(z(k))趋于*优值p。
　　(3)对偶向量收敛：当迭代次数k→∞时，对偶向量λ(k)趋于*优值λ。
　　基本ADMM的充分必要*优条件包括原问题的可行性和对偶问题的可行性，原问题的可行性如式(1.10)所示：
　　(1.10)
　　对偶问题的可行性如式(1.11)所示：
　　(1.11)
　　原问题的可行性始终满足，原问题和对偶问题的可行性依赖于原问题残差向量r(k)和对偶残差向量。因此，可以检验原问题和对偶问题的残差，达到上界{ε1，ε2}作为终止条件，即和。
　　1.1.3 罚函数的自适应调整
　　通常，较大的乘法函数ρ增加了拉格朗日函数中等式约束部分的权重，导致较小的原问题残差。相反，当ρ较小时，权重较小，导致较大的原问题残差，但产生较小的对偶问题残差。
　　为解决上述问题或折中原问题残差和对偶问题残差，文献[2]和[3]构造了自适应调整机制，如式(1.12)所示：
　　(1.12)
　　式中，参数μ>1；τ1>1；τ2>1。
　　美国斯坦福大学的Boyd已对式(1.1)所描述的优化问题的ADMM求解方法进行了收敛性证明[1]，核心思路是通过构造李雅普诺夫函数，证实该函数值随着迭代递减。
　　1.1.4 研究现状
　　基于问题(1.1)的特殊结构性质，ADMM已经成功应用于分布式机器学习和分布式信号处理问题中。例如，Giannakis教授致力于分布式信号与信息处理的研究[4-8]，代表性的工作包括分布式支持向量机、分布式稀疏线性回归及其他分布式通信信号处理算法研究。梁军利等针对传感器网络环境下的分布式张量降维问题，提出了一种一个向量接一个向量(one-vector by one-vector， OVBOV)的投影向量计算方式，并构造了一致性约束问题通过ADMM进行求解，*终各个节点获得一致的投影基完成分布式张量的降维[9-10]。英国赫瑞–瓦特大学的Mota等研究了基于ADMM的分布式基追踪问题，包括数据按列或按行分布在不同网络节点两种场合[11]。关于ADMM的收敛特性分析，文献[12]～[24]作者做了大量工作，但到目前为止，对于非凸优化问题的收敛性分析仍是一个开放性问题。在我国，南京大学何炳生教授是*早研究ADMM的数学家之一。何教授及其团队在解决ADMM问题时的主导思想为“分解降低难度，整合把握方向”。除了式(1.12)的参数选择调比准则之外[2]，他还重点研究了交替方向乘子法的收敛速率[25-34]。北京大学林宙辰教授等出版了著作 Alternating Direction Method of Multipliers for Machine Learning[35]，阐述了ADMM解决机器学习领域中的确定性凸优化、确定性非凸优化、随机优化和分布式优化问题，并指出解决线性约束问题的关键在于拉格朗日乘子，其使得约束问题暂时变得无约束，不仅消除了处理约束的困难，而且克服了罚函数法和投影梯度法的一些固有缺陷[36-40]。中国科学技术大学的凌青教授研究了用于分布式计算的基本ADMM、加权ADMM、线性近似ADMM、动态优化ADMM、二次近似ADMM的收敛及收敛率等特性[41-45]。西北工业大学的白建超教授发展了带椭圆形步长区域的广义对称ADMM(generalized-symmetric ADMM， GSADMM)、非精确加速随机ADMM，并建立了算法的次线性和线性收敛速度理论[46-51]。ADMM仍然是一个极其热门的研究方向，许多学者对于该算法的推进做出了贡献，相关论文上千篇。由于篇幅有限，作者从信号处理应用的角度考虑，关注点也有限，其他ADMM工作不再赘述。
　　1.2 约束集分离与简约ADMM
　　实际应用中，目标函数或约束集较为复杂的优化问题更为普遍。针对目标函数较为复杂的优化问题，已发展了许多优化方法，如非线性优化方法等，而约束集较为复杂的优化问题更为棘手，更难以应对。本节*先讨论现有的处理复杂约束的思路，其次引入约束集分离与简约ADMM。
　　1.2.1 多目标优化
　　为解决存在复杂约束的优化问题，文献[52]将不等式或等式约束变成多项式，通过加权的方式引入目标函数中，形成多目标优化问题。此时，不再存在复杂的约束，而只有复杂的目标函数，可以使用擅长非线性优化的智能优化算法，如粒子群算法、遗传算法进行求解。以文献[52]中的波束赋形问题为例，该文献需要求解式(1.13)所示的复杂约束优化问题：
　　(1.13)
　　然而，文献[52]并没有对上述问题直接求解，而是构建了多目标优化形式的目标函数，如式(1.14)所示：
　　(1.14)
　　*后，通过粒子群算法进行优化求解。需要指出，这种多目标优化可能存在两点不足，包括加权系数{wk，vi}很难设定，*终获得的解代入约束集，I和，K中不一定完全满足。
　　1.2.2 一致性ADMM
　　文献[53]提出了基于一致性ADMM(consensus-ADMM)的广义二次约束的二次规划方法，为每一个二次项约束引入一个一致性变量。这样形成的每一个子问题对应于一个二次型约束，可以采用文献[53]和[54]中提及的矩阵分解、转换为单变量非线性方程求解的思路，寻找*优拉格朗日乘子进行一致性变量的确定，*终所有的一致性变量趋于相同，就可以获得原始问题的*优解。例如，文献[53]考虑解决式(1.15)所示的优化问题：
　　(1.15)
　　针对式(1.15)所示的问题，文献[53]为变量x引入m个一致性变量zi=x，i=1，2， ，m，将上述问题转换为式(1.16)所示的等价问题：
　　(1.16)
　　一致性ADMM通过式(1.17)～式(1.19)所示的步骤进行求解：
　　(1.17)
　　(1.18)
　　(1.19)
　　式中，ui为对应于约束zi=x的尺度对偶变量。
　　分析式(1.18)容易看出，这种方法适合式(1.18)中的子问题存在闭合解析式，或者容易获得该子问题的*优解，也就是期望单个约束集容易求解，如文献[53]中提到的非凸或凸的二次约束。
　　1.2.3 约束集分离与简约ADMM框架
　　在实际应用中，所建立的模型并不都是如上所述的二次型不等式，可能存在如下形式的复杂约束[55-61]。
　　(1)自相关函数用来描述信号x(k)在任意两个不同采样时刻的取值之间的相关程度。便于描述，通常会将信号写为向量形式，即x，则对自相关的约束通常具有式(1.20)所示的形式：