《非平稳信号时频分析与分解方法》系统阐述非平稳信号时频分析与分解的基本原理和方法，不仅包括常用的分析方法，还重点介绍参数化时频变换、同步压缩变换、变分模式分解、非线性调频分量非参数化分解等。《非平稳信号时频分析与分解方法》系统介绍非平衡信号时频分析与分解方法的基本思想、算法原理、仿真算例以及该方法在工程信号分析与机械故障诊断中的应用，并且给出主要算法的MATLAB程序代码，可以帮助读者加深对算法原理的理解。《非平稳信号时频分析与分解方法》章节安排合理，内容由浅入深，既包含了基础理论知识，又涉及领域前沿，适合不同层次的读者使用。

本书章节安排合理，内容由浅入深，既包含了基础理论知识，又涉及领域前沿

目录
第1章 数学基础 1
1.1 空间 1
1.1.1 线性空间 1
1.1.2 赋范线性空间 2
1.1.3 内积空间 2
1.2 信号分解 4
1.2.1 线性组合 4
1.2.2 正交基与正交分解 5
1.2.3 正交函数集与完备性 6
1.2.4 傅里叶变换 8
第2章 非平稳信号时频分析与分解基础 10
2.1 非平稳信号模型 10
2.2 解析信号和瞬时频率 11
2.2.1 解析信号 11
2.2.2 瞬时频率 13
2.3 多分量非平稳信号 16
2.3.1 单分量信号的定义 16
2.3.2 多分量非平稳信号的定义 17
2.4 希尔伯特-黄变换 18
2.4.1 经验模式分解 18
2.4.2 本征模函数的希尔伯特谱 22
2.4.3 算例验证 23
2.5 本章主要方法的MATLAB程序 26
参考文献 32
第3章 常用时频变换方法 34
3.1 短时傅里叶变换 35
3.1.1 变换公式与窗函数选取 35
3.1.2 短频傅里叶变换 36
3.1.3 仿真算例 37
3.1.4 时频分布反变换 42
3.2 时频不确定性原理 42
3.2.1 原信号的时频不确定性原理 43
3.2.2 短时傅里叶变换的时频不确定性原理 44
3.2.3 瞬时平均频率与瞬时有效带宽 45
3.3 连续小波变换 46
3.3.1 基本定义与性质 47
3.3.2 小波变换的时频分辨率分析 50
3.3.3 仿真算例 51
3.4 参数化时频变换初步 55
3.4.1 线性调频小波变换 55
3.4.2 正弦调频小波变换 56
3.4.3 仿真算例 58
3.4.4 变换核函数设计与参数估计问题 61
3.5 本章主要方法的MATLAB程序 61
参考文献 68
第4章 参数化时频变换原理与方法 71
4.1 参数化时频变换一般原理 71
4.1.1 定义与原理 71
4.1.2 变换性质 73
4.2 参数化时频变换通用方法 74
4.2.1 多项式调频小波变换 74
4.2.2 样条调频小波变换 76
4.2.3 泛谐波调频小波变换 78
4.3 变换核函数参数估计 81
4.3.1 时频脊线迭代提取估计法 82
4.3.2 仿真算例 83
4.4 旋转机械振动信号时频分析 92
4.4.1 转子试验台振动信号分析 92
4.4.2 水轮机振动信号分析 95
4.5 本章主要方法的MATLAB程序 96
参考文献 104
第5章 基于参数化解调的多分量信号分析 106
5.1 基于参数化解调的分解算法框架 106
5.1.1 参数化解调运算 106
5.1.2 频谱集中性度量 108
5.1.3 多分量信号迭代分解算法 109
5.2 解调分量分离方法Ⅰ：时频滤波 110
5.2.1 多项式核频谱集中性指标 110
5.2.2 基于参数化解调的时频滤波 111
5.3 解调分量分离方法Ⅱ：奇异值分解 118
5.3.1 调频信号奇异值分解 118
5.3.2 基于参数化解调的奇异值分解 121
5.4 多分量信号实例分析 128
5.4.1 蝙蝠回波信号分析 128
5.4.2 水轮机振动信号分析 130
5.5 本章主要方法的MATLAB程序 131
参考文献 137
第6章 非线性调频分量参数化分解 139
6.1 非线性调频分量定义 139
6.2 非线性调频分量参数化模型 140
6.3 模型参数估计方法 142
6.3.1 瞬时频率参数估计 142
6.3.2 幅值参数估计 144
6.3.3 仿真算例 148
6.4 变转速轴承故障诊断应用 153
6.4.1 轴承故障信号模型 153
6.4.2 仿真验证 154
6.4.3 试验验证 156
6.5 多通道信号盲分离应用 159
6.5.1 非线性调频源盲分离问题 159
6.5.2 参数化盲分离方法 160
6.5.3 仿真算例 163
6.6 本章主要方法的MATLAB程序 173
参考文献 175
第7章 同步压缩变换 178
7.1 时频重排原理 178
7.2 同步压缩小波变换 180
7.2.1 基本原理 180
7.2.2 仿真算例 182
7.3 同步压缩短时傅里叶变换 184
7.3.1 基本原理 184
7.3.2 仿真算例 185
7.4 高阶同步压缩变换 188
7.4.1 二阶同步压缩变换 188
7.4.2 更高阶同步压缩变换 189
7.4.3 仿真算例 191
7.5 实际应用 193
7.5.1 引力波时频分析 194
7.5.2 蝙蝠回波时频分析 195
7.6 本章主要方法的MATLAB程序 196
参考文献 204
第8章 经验小波变换 205
8.1 基本原理与方法 205
8.1.1 基本原理 205
8.1.2 频带划分方法 207
8.1.3 仿真算例 208
8.2 基于频谱趋势的经验小波变换 213
8.2.1 基于频谱趋势的频带划分方法 213
8.2.2 仿真算例 214
8.3 应用案例分析 219
8.3.1 试验概述 219
8.3.2 健康轴承 220
8.3.3 早期故障 221
8.3.4 严重故障 222
8.4 本章主要方法的MATLAB程序 224
参考文献 227
第9章 变分模式分解 228
9.1 分解原理与方法 228
9.1.1 基本原理 228
9.1.2 仿真算例 230
9.2 规整变分模式分解 234
9.2.1 基本思想 234
9.2.2 基于优化SCI的相函数估计 235
9.2.3 仿真算例 237
9.3 变转速行星齿轮故障诊断应用 247
9.3.1 试验概述 247
9.3.2 健康齿轮 248
9.3.3 太阳轮齿面磨损 250
9.3.4 太阳轮轮齿剥落 251
9.4 本章主要方法的MATLAB程序 253
参考文献 256
第10章 非线性调频分量非参数化分解 257
10.1 理论基础与基本原理 257
10.1.1 非线性调频分量带宽 257
10.1.2 非线性调频分量解调原理 258
10.1.3 非线性调频分量分解原理 259
10.2 非线性调频分量分解策略Ⅰ：变分联合优化 260
10.2.1 变分优化模型 261
10.2.2 联合优化算法 261
10.2.3 仿真算例 265
10.3 非线性调频分量分解策略Ⅱ：递归自适应追踪 274
10.3.1 递归算法框架 275
10.3.2 带宽自适应更新算法 276
10.3.3 瞬时频率初始化 278
10.3.4 仿真算例 280
10.4 转子碰摩故障诊断应用 286
10.4.1 故障诊断方法 287
10.4.2 仿真分析 287
10.4.3 试验验证 294
10.4.4 工程应用 296
10.5 本章主要方法的MATLAB程序 300
参考文献 304
第11章 频散信号参数化时频分析与分解 307
11.1 广义频散分量模型 307
11.2 频散信号参数化时频变换 308
11.2.1 频域参数化时频变换统一定义 309
11.2.2 多项式频延变换和泛谐波频延变换 309
11.2.3 仿真算例 310
11.3 广义频散分量分解 314
11.3.1 理论基础与基本原理 314
11.3.2 仿真算例 318
11.4 实际应用 326
11.4.1 铁路车轮故障诊断 326
11.4.2 兰姆波信号分析 327
11.5 本章主要方法的MATLAB程序 330
参考文献 334

第1章 数学基础
　　正如数学家莫里斯 克莱因所说，事实上，一些科学分支只是由一套数学理论组成的，并饰以几个物理事实，信号分析与处理正是这样一门学科，它深深地根植于若干数学基础之上。信号分析中的许多概念、性质都离不开数学的推导，这也是为什么一般的关于数字信号基本理论的书中，数学推导往往占据了很大篇幅。更有甚者，有些信号分析方面的论著，通篇都是数学推导，令人望而生畏。应该注意到，虽然很多推导过程很复杂，但往往只是涉及一些技巧。如果能牢牢掌握数学基础知识，就可以做到触类旁通，不为高度技巧化的、复杂的推导过程所困惑，直达信号处理方法的要义和本质。实际上，很多情况下，要做到这一点，不需要很高深的数学知识，一般的高等数学知识就够了。
　　1.1 空间
　　数学上的空间本质上可看作实际的物理空间或欧几里得三维空间的推广和抽象化。广义上来说，空间就是用公理确定了元素与元素之间关系的集合；也可以理解为满足一定数学结构的元素的集合，而这个数学结构就是由公理来确定的。对信号处理来说，重要的空间概念包括线性空间、赋范线性空间和内积空间。
　　1.1.1 线性空间
　　定义了元素间代数运算的集合称为线性空间。令V为一集合且定义两个运算(加法与标量乘法)。若对每个V上的元素f、g、w及每个标量c、d都符合下列公理，则称V为一个线性空间。
　　(1)(加法封闭性)
　　(2)(加法交换性)
　　(3)(加法结合性)
　　(4)
　　(5)使得
　　(6)(标量乘法的封闭性)
　　(7)(分配性)
　　(8)(分配性)
　　(9)(结合性)
　　(10)(标量单位元素)
　　线性空间中的常用元素类型有函数和向量，当元素为向量时，常称为向量空间。
　　1.1.2 赋范线性空间
　　定义了元素范数的线性空间称为赋范线性空间。定义在赋范线性空间中的函数，满足以下条件都可以称为范数。
　　(1)正值性：；
　　(2)正值齐次性：，其中a为标量；
　　(3)三角不等式：；
　　(4)正定性：。
　　对于[a， b]区间上p次可积的函数空间，常用的范数定义为
　　(1.1)
　　类似地，在N维向量空间中，元素的常用范数定义为
　　(1.2)
　　不同的范数定义可以从不同的角度度量空间中元素的某个特征。例如，若把空间中的每个元素看成一个信号，那么对于信号f，就表示该信号的绝对值和，则表示该信号的能量。
　　在线性空间中，任意两个元素f和g之间的距离可通过范数来定义，即
　　(1.3)
　　根据该定义，两个二维向量和之间的距离可表示为
　　(1.4)
　　如图1.1所示，定义的距离正是人们所熟悉的欧几里得距离。
　　1.1.3 内积空间
　　令g、f与w为线性空间V中的元素且c是任何标量。V上的内积是一个函数，该函数将每一个元素g或f对应到一个实数并满足下列公理：
　　(1)；
　　(2)；
　　(3)；
　　(4)，且当且仅当。
　　定义了元素间内积(积分运算)的线性空间称为内积空间。完备的内积空间 (引入极限概念)又称为希尔伯特(Hilbert)空间。关于希尔伯特空间的具体定义可在一般的泛函分析的教科书中找到，这里不做具体展开。
　　对于N维向量空间，元素g和f间的内积*常见的定义为
　　(1.5)
　　其中，是的复共轭。之所以要将其中一个元素采用复共轭形式，是要保证在复实数情况下，元素和其自身的内积为正。
　　对于[a， b]区间上二次可积的函数空间，*常见的内积定义为
　　(1.6)
　　由式(1.5)和式(1.6)所定义的内积可知，元素f与其自身的内积就是该元素的，即
　　(1.7)
　　向量的内积可以用来表示向量的角度关系，以图1.1中的两个向量为例，由三角函数关系可知：
　　(1.8)
　　另外，直接根据范数定义可知：
　　(1.9)
　　比较式(1.8)和式(1.9)，可知：
　　(1.10)
　　从而
　　(1.11)
　　该关系可推广至高维向量和函数情况，可用于度量向量间或函数间的角度相关性。当f和g同向时，θ = 0，此时式(1.11)达到*大值1；当时，f和g正交。
　　正是因为内积可以用来表示向量间的角度关系，利用内积可方便地引入一个在信号处理中非常重要的概念——正交投影。
　　令g与f为内积空间V上的两个向量且f ≠ 0，则g正交投影到f可表示为
　　(1.12)
　　若f为单位向量，即，则g正交投影到f可简写为
　　(1.13)
　　正交投影的几何含义可通过图1.2中二维向量的例子来说明。
　　图1.2 正交投影的几何含义
　　1.2 信号分解
　　简单来说，信号分解的基本含义就是将一个复杂信号分解成多个其他信号(常称为基向量或基函数)之和。人们所熟悉的众多信号分析方法本质上都可认为是一种信号分解方法，包括傅里叶变换(Fourier transform)、小波变换(wavelet transform)、原子分解(atom decomposition)、稀疏分解(sparse decomposition)、本征模式分解(intrinsic mode decomposition)、主成分分析(principal component analysis)、*立成分分析(independent component analysis)、奇异值分解(singular value decomposition)和盲源分离(blind source separation)等。各种分解方法的目的各有不同，有些分解方法是要将复杂的目标信号分解为一些特定类型的基函数或者基向量，求取它们对应的分解系数，如傅里叶变换和小波变换等；而有些分解方法则是要利用(单个或多个)目标信号，根据一定的准则，寻找一组基函数或者基向量来表示目标信号，如主成分分析和*立成分分析等。
　　信号分解和重构是信号处理学科的核心，涉及的内容很广，基本的研究内容可大致归纳为：①基函数的构造，如小波基的构造和原子字典的生成等；②分解系数的求解，如正交匹配追踪法、快速傅里叶变换算法、小波变换中的Mallat算法和它们相应的实现方法等；③基函数的寻找与确定，如稀疏分解算法、Karhunen–Loève变换、*立成分分析中的极小化互信息和极大化非高斯性估计方法等；④分解结果的性质分析，如傅里叶变换与小波变换的性质分析和典型信号的分解结果分析等；⑤重构算法，如傅里叶逆变换、小波极大模重建算法和稀疏重构算法等；⑥应用研究，典型应用有信号压缩、去噪处理、特征提取、目标识别和系统辨识等。
　　实际上，更广泛意义上的信号分解在其他研究领域同样有着重要的应用。在动力学研究领域中，线性振动分析*主要的概念是模态分析，其实质就是将复杂的振动响应表示为一系列相互正交的子模态系统的响应和，只是这里的基函数不是利用系统响应而是通过动力学方程直接求得的。在非线性动力学问题求解中，常用的有谐波平衡法和摄动法等，它们的思想也是用一些简单函数来逼近系统响应。
　　本节将给出信号分解的基本概念，分解逆向即为重构，以备后面学习所需。
　　1.2.1 线性组合
　　线性组合：在向量空间V中的向量s称为在V中向量，， ，的线性组合(linear combination)，可以写成以下形式：
　　(1.14)
　　其中，，， ，为标量。
　　例如，令=[1， 3， 1]，=[0， 1， 2]，=[1， 0，??5]，则是与的线性组合，因为。
　　生成集合：令为向量空间V的子集合。若在V中的每个向量均可写成S中向量的线性组合，则称S为V的生成集合，简称S生成V (S spans V)。
　　例如，S = {[1， 0]， [0， 1] }为二维平面空间的生成集合。因为所有平面中的向量都可写成u =[1， 0] +[0， 1]。同样 S = {[1， 0， 0]， [0， 1， 0]， [0， 0， 1]}是三维空间的生成集合。
　　线性*立：在向量空间V中的向量集合称为线性*立(linear independent)的，若下列向量方程式
　　(1.15)
　　只有一个平凡解(trivial solution)，则。若式(1.15)有非零平凡解(nontrivial solution)，则S称为线性相关(linear dependent)的。
　　例如，在二维线性空间中的向量集合S = {[1， 2]， [2， 4]}为线性相关，因为?2[1， 2] + [2， 4] = [0， 0]。在三维线性空间的向量集合S = {[1， 2， 3]， [0， 1， 2]， [?2， 0， 1]}为线性*立的。
　　底基：在向量空间V中的向量集合称为V的底基(basis)，若下列的情况成立：
　　(1)S生成V；
　　(2)S为线性*立的。
　　如果底基S中每个向量均有，则S又称为标准底基。
　　例如，向量集合S = {[1， 2， 3]， [0， 1， 2]， [?2， 0， 1]}为三维线性空间的底基。
　　性质1.1 若是向量空间V的底基，则V中的每一个向量都可唯一表示成S中向量的线性组合。
　　性质1.2 令V为一个n维的向量空间，若是一个在V中线性*立的集合，则S是V的底基。
　　以上两个性质均可用反证法进行证明。
　　1.2.2 正交基与正交分解
　　正交分解是信号分析中*重要的一类工具，它概念清晰，分解系数计算方法简单且高效，因此应用*为广泛。
　　正交：在内积空间V上的集合S称为正交，若在S上每对向量均为正交，即
　　(1.16)
　　单位正交：若在S上每对向量均为正交且每个向量均为单位向量，则称S为单位正交，即
　　(1.17)
　　若S为底基，则分别称为正交底基或单位正交底基。
　　不难验证S=为三维向量空间的一组单位正交基。
　　定理1.1 正交集合为线性*立的，即若为内积空间V上一些非零向量所构成的正交集合，则S为线性*立的。
　　推论1.1 若V为n维的内积空间，则n个非零向量所构成的任意正交集合为V的底基。
　　正交分解：若为内积空间V的单位正交基，则对于向量，其相对于S的坐标表示为
　　(1.18)
　　证明：因为S为空间V的单位正交基，且，所以w可唯一表示为
　　(1.19)
　　将式(1.19)左、右两边分别和基向量si做内积可得
　　(1.20)
　　将式(1.20)代入式(1.19)，即可得式(1.18)。
　　记，称为w相对于S的坐标矩阵。
　　性质1.3 若为内积空间V的单位正交基，则对于向量和，若w = u，则；若w ≠ u，则。
　　需说明的是，上面涉及的都是有限维数空间，即向量空间V有一个由有限个向量所形成的底基。如果空间V的底基是无限维的，则称V为无限维数空间。这时需要在希尔伯特空间进行分析，但以上结论依然成立。
　　1.2.3 正交函数集与完备性
　　考察包含无穷多函数的函数集，若此函数族中的任何两个函数在区间[a， b]上正交，即
　　(1.21)
　　则该函数集为正交函数集；当Kn = 1时，则该函数集称为标准正交函数集。
　　完备性：若对于任意函数在区间[a， b]上，总可以表示成标准正交函数集的线性组合，即
　　(1.22)
　　则称该标准正交函数集是完备的。该展开式应该对区间[a， b]内的每一点t都成立，或者说对区